一线三等角模型结论及证明(一线三等角模型口诀)

导语：一线三等角模型

【方法说明】

一线三等角指的是一条直线上的三个顶点含有三个相等的角，

如图所示，∠B＝∠C＝∠D．

由∠B＝∠C＝∠D可得∠BAC＝∠DCE，因此△ABC∽△CDE．

若AC＝CE，则△ABC≌△CDE．

注：（1）若题目中有一线三等角，可以直接证明相似或全等实现边与角的转化；

（2）若题目中没有给出一线三等角，也可以按需构造．

【方法归纳】

（1）如图1，正方形ABCD，有一个直角的顶点在边AB上；

图1

（2）如图2，等边三角形ABC，有一个60°角的顶点在边AB上；

图2

（3）如图3，等腰直角三角形ABC，有一个45°角的顶点在边AB上；

图3

（4）如图4，∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE．

图4

【典型例题】

1．（13东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

图（1）

图（2）

图（3）

【解题过程】

证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵∠BAD＋∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE＋AD＝ BD＋CE；

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD ＋∠CAE＝180°—α，

∴∠DBA＝∠CAE，∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，

∴△ADB≌△CEA，∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA ＝∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，

∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，

∵BF＝AF，∴△DBF≌△EAF，∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．

本文内容由小滢整理编辑！