代数学的作用(代数学在数学中的地位和作用)
导语：学习数学的意义――代数的学习进程
代数和分析：
小学我们做的计算题都是数的运算，结果就是一个数，所以学的都是数的运算法则。到了小学高年级，我们开始学到用字母表示数，这叫做代数式。
“代数”是晚清数学家李善兰译介到中国来的，取其“以字代数”之意。代数式是一种语言体系的转换，我们可以通过这种方式构造公式，将运算一般化，得到通用的解法；等到面对具体问题时，在将具体的数代入公式中，就可以解决问题了；而代数研究的目的就是寻求通用的解法。公元820年，波斯数学家花刺子模发表了一份代数学领域的专著，阐述了一次和二次方程的通用解法，明确提出了代数中的一些基本概念，把代数发展成为一门与几何相提并论的独立学科。书名中首次使用了al jabr一词，其含义是“重新整合”，也就是移项与合并同类项。 转译为拉丁语后，变成了 algebra，后来又进入了英语。这就是“代数”一词的词源含义。
引入代数式之后出现了数系的扩充。随着处理的数字越来越复杂，加减乘除的四则运算不能够得到自然数的结果，a-b(a<b，a和b都是整数)引出了负数，a/b(a<b,b≠0，a和b都是整数)引出了分数。所以我们把原来的整数扩展为有理数。这是另一种语言体系的转换，我们使得运算的范围扩大了。
然后我们开始学习整式（字母不做分母的代数式，包括单项式和多项式）的加减和乘法，并且学了整式乘法的逆运算——因式分解，即如何将一个复杂多项式转化成简单多项式的乘法；并且从另一条主线上，我们也学习了整式方程即一元一次方程、二元一次方程和不等式。整式也能够做除法，变成分式，同时也可以做分式方程。但是，在解一元二次方程时遇到了开方问题，这种运算与四则运算不同，得到的结果不一定是有理数，于是我们接受了无理数的存在，并将数系扩充到实数。开方运算有一些特殊的运算法则，例如负数不能开平方之类，这种法则同样代数式同样要遵守，这就是根式。有了这些基础，一元二次方程的问题就能够解决了，我们得到了一元二次方程的通用解法——求根公式。
学了好了基本的运算（加减乘除和开方）和方程以后，引入了函数，引入函数以后，数学的语言体系就又提高了一个新的层次。研究函数和应用函数，是分析的主要任务。函数之重要性，说它是现代数学最重要的概念也不为过。世界上的事物是普遍联系的，但是传统的自然哲学对这种联系的分析都是定性的：比如用火加热，水的温度就会上升；用力越大，弹簧拉得越长；而现代科学则需要对这种联系进行定量分析，找到联系的普遍规律，这就需要用到函数工具。初中物理里的关于加热的公式Q=Cm(T2-T1)、弹簧受力的公式N=k(x-x0)以及高中物理的万有引力公式F=GMm/r2，本质上都是这种借助函数工具进行定量研究的产物。函数是中学数学承上启下的核心知识，初中函数的应用基本是在解方程和不等式上，而高中数学除了一部分几何和统计知识以外，几乎完全建构在函数理论之上。
高中数学首先引入集合语言，引出后文对函数的定义。集合论是现代数学各个分支领域的基石，但是高中水平的数学几乎用不到这个东西，只需要会进行简单的集合运算就可以。然后开始深入研究函数的单调性、奇偶性等一般性质，初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的特殊性质，以及一种自变量为正整数，因变量为实数的特殊函数——数列，即实数序列。三角函数引出平面向量，其运算法则反映出的向量代数也是一次数学语言的重大飞跃：我们发现能够运算的不仅是数和代数式，还有有序的数和代数式。然后是不等式，你也许会疑惑学这么复杂的不等式干什么，但到了大学学习真正的数学分析就会知道，不等式证明技巧是学习数学分析必备的本领。这些基础打牢以后，就开始学习极限和导数，高中数学到此就戛然而止了。函数、数列、不等式、导数是高中数学最难的部分，这些也是高等数学基础的基础。高考题的最后一题，基本上就是函数、数列、不等式和导数的综合应用。
到了大学，接续这部分的内容就是大名鼎鼎的高等数学，其中绝大多数内容也就是微积分。数学专业则学习数学分析，这是用更严密的论证体系来学习微积分。不过，无论是高数、数分，研究的函数都比较直观，基本上都是连续函数，或者说黎曼可积函数。而不满足上述条件的实函数，则需要基于集合论、测度论和勒贝格积分的实变函数理论来研究。在另一个方向上，函数的变量也不都是实数，如果变量是复数，则由复变函数或者复分析这门学科来研究。自变量除了数以外，还可以是函数，函数的函数叫做泛函，研究泛函以及无限维空间变换的理论叫做泛函分析，这是比实分析和复分析更加抽象的数学。此外，方程中也可以用微积分，研究如何求解包含微积分的方程的领域叫做微分方程，其中研究包含一元函数微积分的叫常微分方程，研究包含多元函数微积分的叫偏微分方程。分析领域的各个学科都跟理论物理的学习和研究有很大的关联。
高中的平面向量和空间向量，其主要作用是为解三角形和立体几何证明打基础，从应用角度讲算作几何模块更恰当。学到平面向量和空间向量，中学代数的内容就戛然而止了。到了大学，一次方程组被重新拉回视野。因为一次函数的图像是一条直线，所以一次方程组也叫线性方程组，线性代数就是从研究线性方程组的通用解法开始入门。通过运用n元向量、矩阵和行列式，最终得到了线性方程组的通用解法——克莱默法则（但是后面我们会知道，行列式的计算非常复杂，克莱默法则远不如高斯消元法好用，线性代数和高等代数只是拿线性方程组作为引子，引出线性空间这个核心，而这种解线性方程组的任务就交给计算数学专业的数值代数课程了）。与此同时，我们运算的对象也扩展到了向量和矩阵；我们发现，这些运算很相似，都有类似的结构，数学家将其进一步抽象为线性空间，并将研究线性空间的性质和变换作为线性代数的主要任务。而我们直观上能够感受到的三维空间，则是线性空间的一种特殊形式。为了研究这种特殊形式，引入了双线性函数和二次型，得到了内积运算，进而将线性空间特殊化为度量空间，这样线性空间理论就有了能够用于几何研究或解决实际问题的用途。线性空间是最简单的代数学研究对象，除此以外代数学的研究对象还有群、环、域等，研究这些对象及其性质的后续课程叫做抽象代数或者近世代数。初中几何遇到的三等分角、立方倍积和化圆为方三大不可作图问题的证明就需要用到抽象代数的知识。高中选修3-4对称与群、4-2矩阵与变换，分别对应着群论（抽象代数的部分内容）和矩阵代数（线性代数的简单部分），可以课余时间读一读
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