余弦定理的证明方法四种(余弦定理如何证明)

导语：简要解读关于余弦定理的证明(小知识点)

现在我们简要解读余弦定理的证明，我们都知道余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的基础。所以根据勾股定理我们知道，在直角三角形ACB中，当<C=90度时有，c²=a²+b²

下面我们就具体的讨论解读余弦定理的证明。

在任意三角形ABC，已知两边和它们的夹角，怎样求出这个角对边的平方？我们首先证明下面的一个结论。在三角形ABC中

a²=b²+c²-2bccosA

我们按着角的大小，分为两种情况来证明。

一、当角A是锐角时，在三角形ABC中作CD丄AB。由此我们看到，

a²=CD²+BD²

∵CD²=b²-AD²，

BD=c-AD

∴a²=b²-AD²+(c-AD)²

=b²-AD²+c²-2cAD+AD²

=b²+c²-2cAD

同学们自己把图形画出来，并标清元素符号。

在直角三角形ACD中，

∵AD=bcosA

∴a²=b²+c²-2bccosA

二、当<A是钝角时，在三角形ABC中作CD丄AB

∵c²=CD²+BD²

CD²=b²-AD²，BD=c+AD

∴a²=b²-AD²+(c+AD)²

=b²-AD²+c²+2cAD+AD²

=b²+c²+2cAD

在直角三角形ACD中

AD=bcos(180-A)=

-bcosA

因此我们又得到

a²=b²+c²-2bccosA

结论，不管是锐角或钝角三角形都有下面的定理，即余弦定理

余弦定理，在三角形中任意一边的平方，等于另外两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦积的两倍。用公式表示

a²=b²+c²-2bccosA

b²=a²+c²-2accosB

c²=a²+b²-2abcosC

对于直角三角形来说，当

A=90时，这时cosA=0

余弦定理也就转化为勾股定理。即

a²=b²+c²

所以我们说勾股定理是余弦定理的基础，余弦定理是勾股定理的推广，也是余弦定理的一个特例。

我们还要知道余弦定理，是反应三角形边角关系的一个重要定理，同时也要注意余弦定理的变形和推论。

由余弦定理还可以得到

cosA=b²+c²-a²/2bc

cosB=a²+c²-b²/2ac

cosC=a²+b²-c²/2ab

利用余弦定理可以解决两方面的问题，它的操作法则是

1、已知两边和夹角解三角形

2、己知三边解三角形

关于求解试题，以后我们要做专题介绍。

另外同学们还要掌握余弦定理的三个推论

1、在三角形中，某一个内角为锐角的充要条件，是它对边的平方小于其它两边的和。即A是锐角可以推出:

a²<b²+c²

2、在三角形中某一个内角，是直角的充要条件，是它对边的平方等于其余两边的平方和，即A是直角可以推出

a²=b²+c²

3、在三角形中某一个内角是钝角的充要条件，是它对边的平方大于其它两边的平方和。即A是钝角又可以得出

a²>b²+c²

再就是，同学们还要理解和掌握角元形式的三个公式

1、cosA=

sin²B+sin²C-sⅰn²/

2sinBsinC

2、cosB=

sⅰn²A+sin²C-sin²B/

2sinAsinC

3、cosC=

sin²A+sin²B-sin²C/

2sinAsinB

关于余弦定理的证明，就简要解读到这里。有错误的地方，希望同学们自己再检验一下。也希望审核老师和同学们批评指正。

谢谢！

(名词解释&34;:充分必要的条件。也可以说，&34;是个简称)

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