立体几何内切球与外接球的思维归纳(立体几何内切球与外接球的思维归纳总结)

导语：立体几何内切球与外接球的思维归纳！

外接球与内切球

【球的定义】

第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。

【球的截面与大圆小圆】

截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面；

大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。

球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长；

小圆：不过球心的截面圆叫小圆。

【球的截面的性质】

性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面；

【外接球问题】

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．

1. 由球的定义确定球心。在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论:

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

2.构造正方体或长方体确定球心。长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

3. 由性质确定球心。利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

【内切球问题】

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

【考点】球的表面积

【点拨】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该

几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

答题思路

【命题意图】主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力、计算求解能力，考查函数与方程思想、等价转换思想在解题中的应用．

【命题规律】简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心

的位置问题，其中球心的确定是关键．

【答题模板】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

【方法总结】

解决外接球与内切球问题，关键在于解决球体的半径，明确球心位置，以下为确定球心位置与半径的常用方法：

一、外接球问题

（一） 由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

（三） 由性质确定球心

利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球．

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合．

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理．

5、体积分割是求内切球半径的通用做法．

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