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六年级数学上册知识讲解(六年级上数学所有知识点)

导语:小学六年级上册数学暑期知识点预习

六年级数学上册知识讲解(六年级上数学所有知识点)

  第一部分 数与代数

  一、分数乘法

  (一)分数乘法的计算法则:

  1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分)

  2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。

  3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。

  注意:当带分数实行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再实行计算。

  (二)规律:(乘法中比较大小时)

  一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。

  一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。

  一个数(0除外)乘1,积等于这个数。

  (三)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

  (四)整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。

  乘法交换律:a×b=b×a

  乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)

  乘法分配律:(a+b)×c=ac+bc ac+bc=(a+b)×c

  二、分数乘法的解决问题(详细见重难点分解)

  (已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)

  1、找单位“1”: 在分率句中分率的前面; 或 “占”、“是”、“比”的后面

  2、求一个数的几倍: 一个数×几倍; 求一个数的几分之几是多少: 一个数× 。

  3、写数量关系式技巧:

  (1)“的”相当于 “×”(乘号)

  “占”、“是”、“比”“相当于”相当于“=”(等号)

  (2)分率前是“的”:

  单位“1”的量×分率=分率对应量

  (3)分率前是“多或少”的意思:

  单位“1”的量×(1±分率)=分率的对应量

  二、分数除法

  (一)倒数

  1、倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数。

  强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存有。(要说清谁是谁的倒数)。

  2、求倒数的方法:(原数与倒数之间不要写等号哦)

  (1)求分数的倒数:交换分子分母的位置。

  (2)求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。

  (3)求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。

  (4)求小数的倒数: 把小数化为分数,再求倒数。

  3、因为1×1=1,1的倒数是1;

  因为找不到与0相乘得1的数0没有倒数。

  4、对于任意数a(a≠0),它的倒数为1/a;非零整数a的倒数为1/a;分数b/a的倒数是a/b;

  5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

  (二)分数除法

  1、分数除法的意义:

  分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

  2、分数除法的计算法则: 除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。

  3、规律(分数除法比较大小时):

  (1)当除数大于1,商小于被除数;

  (2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

  (3)、当除数等于1,商等于被除数。

  4、“[ ] ”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。

  (三)分数除法解决问题(详细见重难点分解)

  (未知单位“1”的量(用除法): 已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。 )

  1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

  (1)分率前是“的”:

  单位“1”的量×分率=分率对应量

  (2)分率前是“多或少”的意思:

  单位“1”的量×(1 分率)=分率对应量

  2、解法:(建议:用方程解答)

  (1)方程:根据数量关系式设未知量为x,用方程解答。

  (2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

  3、求一个数是另一个数的几分之几:就用一个数÷另一个数

  4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:

  ① 求多几分之几:大数÷小数 – 1

  ② 求少几分之几: 1 - 小数÷大数

  或①求多几分之几(大数-小数)÷小数

  ② 求少几分之几:(大数-小数)÷大数

  (四)比和比的应用

  1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。

  2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值(比值通常用分数表示,也能够用小数或整数表示)。

  例如

  15 : 10 = 15÷10=1.5

  ∶ ∶ ∶ ∶

  前项 比号 后项 比值

  3、比能够表示两个相同量的关系,即倍数关系。也能够表示两个不同量的比,得到一个新量。

  例: 路程÷速度=时间。

  4、区分比和比值

  比:表示两个数的关系,能够写成比的形式,也能够用分数表示。

  比值:相当于商,是一个数,能够是整数,分数,也能够是小数。

  5、根据分数与除法的关系,两个数的比也能够写成分数形式。

  6、比和除法、分数的联系:

  7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。

  8、根据比与除法、分数的关系,能够理解比的后项不能为0。

  体育比赛中出现两队的分是2:0等,这仅仅一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。

  (五)比的基本性质

  1、根据比、除法、分数的关系:

  商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。

  分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。

  比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。

  2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。

  3、根据比的基本性质,能够把比化成最简单的整数比。

  4.化简比:

  (1)用比的基本性质化简

  ①用比的前项和后项同时除以它们的公因数。

  ②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。

  ③两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。

  (2)用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。

  5.按比例分配:把一个数量按照一定的比例实行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

  如: 已知两个量之比为 ,则设这两个量分别为 。

  6、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为5:4)

  工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。

  (如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)

  三、百分数

  (一)百分数的意义和写法

  1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。

  百分数是指的两个数的比,所以也叫百分率或百分比。

  2、百分数和分数的主要联系与区别:

  (1)联系:都能够表示两个量的倍比关系。

  (2)区别:

  ①意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;

  分数既能够表示具体的数,又能够表示两个数的关系,表示具体数时能够带单位。

  ②、百分数的分子能够是整数,也能够是小数;

  分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。

  3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。

  (二)百分数与小数的互化:

  1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。

  2. 百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。

  (三)百分数的和分数的互化

  1、百分数化成分数:

  先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。

  2、分数化成百分数:

  ① 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。

  ②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

  (四)常见的分数与小数、百分数之间的互化

  第二部分 图形与几何

  圆

  一、理解圆

  1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。

  2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这个点叫做圆心。

  一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

  3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

  把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

  4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。

  直径是一个圆内最长的线段。

  5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

  6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。

  7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的 。

  用字母表示为:d=2r或r=d/2

  8、轴对称图形:

  如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。

  折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)

  9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

  10、只有1一条对称轴的图形有: 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

  只有2条对称轴的图形是:长方形

  只有3条对称轴的图形是:等边三角形

  只有4条对称轴的图形是:正方形

  有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。

  二、圆的周长

  1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

  2、圆周率实验:

  在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

  3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。

  (1)一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π ≈ 3.14。

  (2)在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。

  (3)世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

  4、圆的周长公式

  5、在一个正方形里画一个的圆,圆的直径等于正方形的边长。

  在一个长方形里画一个的圆,圆的直径等于长方形的宽。

  6、区分周长的一半和半圆的周长:

  (1)周长的一半:等于圆的周长÷2

  计算方法:2πr÷2 即 πr

  (2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。

  计算方法:πr+2r

  三、圆的面积

  1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。

  2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

  3、圆面积公式的推导:

  (1)、用逐渐逼近的转化思想: 体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。

  (2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。

  (3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

  4、环形的面积:

  一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)

  S环 = πR²-πr²或

  环形的面积公式: S环=π(R²-r²)。

  5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

  而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

  例如:

  在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。

  6、两个圆:半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。

  例如:

  两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9

  7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π

  8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。

  9、确定起跑线:

  (1)、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

  (2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(所以起跑线不同)

  (3)、每相邻两个跑道相隔的距离是: 2×π×跑道的宽度

  (4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。

  11、常用各π值结果:

  2π = 6.28 3π = 9.42

  4π = 12.56 5π = 15.7

  6π = 18.84 7π = 21.98

  8π = 25.12 9π = 28.26

  10π = 31.4 16π = 50.24

  25π = 78.5 36π = 113.04

  64π = 200.96 96π = 301.44

  扇形统计图

  一、扇形统计图的意义:

  用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

  也就是各部分数量占总数的百分比(所以也叫百分比图)。

  二、常用统计图的优点:

  1、条形统计图:能够清楚的看出各种数量的多少。

  2、折线统计图:不但能够看出各种数量的多少,还能够清晰看出数量的增减变化情况。

  3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

  三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小相关,圆心角越大,扇形越大。(所以扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百

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