初中数学存在性问题解题方法(初中数学存在性问题的本质)

导语：初中数学存在性问题

专题1 以函数为背景的直角三角形的存在性问题

【知识讲解】

知识内容：

在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理计算来确定直角三角形．

解题思路：

按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

计算出相应的边长等信息；

根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．

【例题讲解】

1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

【解析】（1）解方程，

可得：A、B的坐标分别为（，0），（2，0）；

（2）设AB中点为D，D点为（，0），以D为圆心，AD为半径作圆，

若l与y轴平行，则找不到3个M点，使为直角三角形．

∴l不与y轴平行．

∴必定存在2个M点，使或．

要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H，

∵，，

∴，．

∴M0的坐标为或．

∴直线l解析式为或．

【小结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果．

2、在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点

A（，0）和点B（0，3），顶点为P．

（1）求二次函数解析式及点P的坐标；

（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．

【解析】（1）由题意得，解得：，；

∴二次函数解析式为，

∴点P的坐标是（1，4）；

（2）P（1，4），A（，0），∴

设点Q的坐标是（x，0），则，．

当时，，∴，解得：，（舍去）

∴点Q的坐标是（1，0）；

当时，，∴，解得：

∴点Q的坐标是（9，0）．

当时，不合题意．

综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．

【小结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．

【巩固提升】

1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边

形时，求m的值；

（3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写

出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵二次函数过点A、B，∴设二次函数为．

将点C（0，2）代入，解得．

∴二次函数解析式为：；

（2）D点坐标为（0，）．

∴直线BD的解析式为：．

∴P点坐标为，Q点坐标为．

∵CD = PQ，∴．解得：m = 2或m = 0（舍），

故m的值为2；

（3），，．

（注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）

【小结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．

2、如图，在Rt中，∠ACB = 90°，AB = 13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．

（1）当CE = 3时，求S△CEF∶S△CAF的值；

（2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式；

（3）当AC = 5时，联结EG，若为直角三角形，求BG的长．

【解析】（1）∵CD//AB，CE = 3，AB = 13，

∴．

∴．

（2）延长AG交CD于M．∴．∴．

∵CD//AB，∴，∴AE = EM，∴．

（3）∵，∴分两种情况讨论．

①当时，可得AG = GM．

∵CD//AB，∴；

②当时，可得，

∴，．

又∵，，

∴，

∴GA = GB．

∴．

综上所述，若为直角三角形，BG的长为6或．

【小结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式．

专题2 以几何为背景的直角三角形的存在性问题

【知识讲解】

解题思路：

按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长．

【例题讲解】

1、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若

不能，请说明理由．

【解析】（1）取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H．可得，．

∵，，P点坐标为，∴D点坐标为；

（2）当时，，

∴．即，解得：或（舍）．

当时，，∴，即，∴PA = 1，∴t = 3

故当是直角三角形时，或3．

【小结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解．

2、如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE．

（1）求底边AB上的高；

（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；

（3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长．

【解析】（1）过C作CH⊥AB于H．

∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4．

又∵，∴AC = BC = 5，CH = 3；

（2）分情况讨论：

①当时，F与H重合，∴EH = 2．

∵，∴．∴；

②当时，作DM⊥AC于M，设CM = x，

∵，∴．

∴，∴，解得：．

∴；

综上：当为直角三角形时，AD的长为或；

（3）∵AD = DE，∴为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边．

∴．∴．∴．

∴．∴．

【小结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论．

3、如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．

（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域；

（2）当BP = 2时，求CF的长；

（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．

【解析】（1）∵为等边三角形，

∴，；

∵，，∴；

又∵四边形DEFG是正方形，∴，，

∴；∴，

∴（）；

（2）当BP = 2时，，

（3）能成为直角三角形．

○1时，如图；，

解得：．

○2时，如图；则，

解得：．

∴当为直角三角形，BP的长为或者为．

【小结】综合性较强，主要考查动点背景下正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确运用．

4、如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且CD = 3 cm．现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）．

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当x为何值时，为直角三角形．

【解析】（1）在中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5．

∵EP // DC， ∴∽，

∴，即，

∴，；

（2）分两种情况讨论：

当时，如图；

易得，又∵EQ // AC，

∴∽，

∴，即，解得：x = 2.5；

当时，如图；

∵，，

∴∽，

∴，即，解得：x = 3.1；

综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．

【小结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论．

【巩固提升】

1、如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数（）图像上的一点，且是直角三角形，求点P的坐标．

【解析】分情况讨论，因为点P在第一象限，所以不可能为．

当时，

∴P点横坐标为2，

∴P点为（2，1）；

当时，连接OP，∴OP = OA = 2，

设P点为， ∴．

解得：或，

∵点P在第一象限， ∴，

综上，P点的坐标可能为（2，1）或（）．

【小结】本题主要考查直角三角形的存在性问题，由于本题中P点在第一象限，因此注意直角三角形只有两种情况．

2、如图，在中，AB = AC = 10，cosB = ．D、E为线段BC上的两个动点，且DE = 3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF // AC交AB于F，联结DF．

（1）设BD = x，EF = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）如果为直角三角形，求的面积；

（3）如图2，如果MN过的重心，且MN // BC分别交FD、FE于M、N，求整

个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．

图1 图2

【解析】（1）∵EF//AC，∴．

∵AB=AC=10，，∴BC=16．

∴．∴（）；

（2）∵EF///AC，AB=AC， ∴，∴．

由于，分类讨论：

当时，∵，∴，解得：；

∴的面积为；

时，∵，∴，解得：．

∴的面积为；

综上所述，的面积为或；

（3）面积为（注：形状为一个平行四边形，MN始终为2）．

【小结】本题主要考查动点背景下的面积问题，注意进行分类讨论．

专题3 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边

（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：

．

解题思路：

利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．

【例题讲解】

1、如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =B．设BD的长为x，CE的长为y．

（1）当D为BC的中点时，求CE的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果为等腰三角形，求x的值．

【解析】∵，，

∴．

∴．

∴．

（1）当D为BC中点时，，∴．

（2），x的取值范围为．

（3）分情况讨论，

①当AD = AE时：

∵，∴，此情况不存在；

②当AD = DE时：

∴，即，

解得：（舍）或；

③当AE = DE时：

∴．

∴．

又∵，∴，

∴，解得：，

综上：x的值为2或．

【小结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．

2、已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：GH = HK；

（3）当是等腰三角形时，求m的值．

【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4），∴设抛物线的解析式为（）

又∵抛物线过点A（，0）∴，，∴这条抛物线的解析式为；

（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）

∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，

∵D的横坐标为m，轴，∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK；

（3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

1° 若CG = CH，则

解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；所以这种情况不存在．

2° 若GC = GH，则，

解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去．∴；

3° 若HC = HG，则，解得：．

综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或．

【小结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．

【巩固提升】

1、已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

【解析】（1）作AG⊥BC于点G，∴∠BGA = 90°，

∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6，

∵tan∠ABC = = 2，∴BG = 3，

∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，

∴AE = 3ED，∴AE = 6，ED = 2

∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5．

（2）过点M作PQ⊥CD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，

作MR⊥BC于点R，易得GH = CQ = MR．

∵MFcos∠EFC = x，∴FR = x．

∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．

∴BG = 3，由BF = 6，得：GF = 3，

∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．

∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°，

∴∠MAH=∠NMQ，

∴∽，∴，即，

∴，定义域：；

（3）①∠AMN = 90°

1）当点M在线段EF上时，

∵∽，且AM = MN，∴AH=MQ，∴6-2x = 5-x，∴x = 1，∴FM =

2)当点M在FE的延长线上时，同上可得AH = MQ，∴2x-6 = 5-x，∴，∴

②∠ANM = 90°

过点N作PQ⊥CD，分别交AB、AG于点P、H，作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q，

∵AN = MN，易得≌，∴AH = NQ，HN = MQ = 8

令PH = a，则AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a

∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a，由MR = 2FR得a =，∴FR=，MR=，∴FM =，

综上所述，线段FM的长为或或．

【小结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用．

2、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

【解析】（1）作AH⊥BC于H．

∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．

∴，∴CP = AC = 5；

（2）∵AP//CG，∴APCE为平行四边形，

又∵CE = CP， ∴APCE为菱形．

设CP = x，则AP = CP，∴．

即，解得：，∴；

（3）设，则．

∵，∴，．

分情况讨论

AE = AG，解得：；

AE = GE，解得：，此时E在F点右边，舍去；

AG = GE，解得：或，均不可能，舍去．

当AE = 3时，．

【小结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍．

专题4 与圆有关的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

与圆有关知识内容：

在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：

（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；

（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形

解题思路：

与模块一类似；

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）；

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

【例题讲解】

1、如图，在中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．

（1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；

（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．

【解析】（1）∵AP = PD，∴，

∴，∴PE = PB =，

∵，∴，

∴（）；

（2）可以求出，，PA = x，．

∴外切时，，解得：，

内切时，，解得：，

综上所述，⊙P的半径为或；

（3），，，

分情况讨论：

PM = PC时，解得：（此时E与C重合）；

PM = MC时，解得：或；

PC = MC时，解得：或（舍）．

综上所述，AP的长为或或5或8．

【小结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结．

2、如图，已知在中，，AB = 5，，P是BC边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．

（1）求AD的长；

（2）设CP = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．

【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

，∴．

∵，∴．

∵90°，∴90°．

∵=90°，∴．

∵，∴，∴．

（2）作，垂足为点H．

∵=90°，∴=90°，=90°，

∴，∴．

∵，∴，∴，

即，定义域为．

（3）解法一：在Rt△PBE中，90°，，，

∴，，

∴，．

∴，

．

如果，那么，解得：．

如果，那么，

解得：（不合题意，舍去），．

综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．

解法二：在Rt△PBE中，90°，，，

∴，，

∴，．

如果，那么，

∴，，

∴，∴．

如果，那么，

∴，

解得：，∴．

综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．

【小结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可．

【巩固提升】

1、如图，在中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

（1）当t =____秒时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？

【解析】（1）Q到B点需要，

此时P点行了4.5个单位，

两点相距个单位，

再过，即一共过7秒后，P与Q相遇．

（2）P在B到C的过程中，Q从CA边到了AB边，需要分情况讨论

①Q在AC边上，即时，

∵，∴只可能CP = CQ．

∴，解得：；

②Q在AB边且未到B点时，即时，

a) CQ = PQ，作QH⊥AC于H．

∴， ∴，解得：；

b) PC = CQ，

∵，在时，，∴不可能；

c) PC=PQ，

∵，∴不可能．

综上所述，当时，为等腰三角形．

【小结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题．

2、在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．

（1）如图1，已知OA = 5，AB = 6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE

的长；

（2）已知OA = 5，AB = 6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且

是等腰三角形，求AF的长；

（3）如果OD // AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．

图1 图2

【解析】（1）∵OC⊥AB，∴AC = CB = 3，∴OC = 4．

∵OD//BC，∴OD⊥OC，，∴，∴；

（2）∵OD = 5，OC = 4，是等腰三角形，∴CD = 4或CD = 5．

①当CD = 5时，，∵OC⊥CF，

∴，∴D为OF中点，

∴，∴；

②当CD = 4时，作CH⊥OD于H，作DI⊥OC于I，

∴，∴，

∴，∴， ∴．

（3）∵OC⊥CB，CE⊥OB，∴，∴．

设BC=x，可得，即，解得：（负的舍去）．

∴．

【小结】本题综合性较强，主要考查了垂径定理及相似三角形的性质，锐角三角比的综合运用，解题时注意分析．

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