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初中数学存在性问题解题方法(初中数学存在性问题的本质)

导语:初中数学存在性问题

初中数学存在性问题解题方法(初中数学存在性问题的本质)

专题1 以函数为背景的直角三角形的存在性问题

【知识讲解】

知识内容:

在以函数为背景的此类压轴题中,坐标轴作为一个“天然”的直角存在,在解题时经常会用到,作出垂直于坐标轴直线来构造直角。另外,较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理计算来确定直角三角形.

解题思路:

按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;

计算出相应的边长等信息;

根据边长与已知点的坐标,计算出相应的点的坐标.

【例题讲解】

1、如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

【解析】(1)解方程,

可得:A、B的坐标分别为(,0),(2,0);

(2)设AB中点为D,D点为(,0),以D为圆心,AD为半径作圆,

若l与y轴平行,则找不到3个M点,使为直角三角形.

∴l不与y轴平行.

∴必定存在2个M点,使或.

要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”,即直线l与圆D相切,设切点为M0,过M0作M0H⊥x轴于H,

∵,,

∴,.

∴M0的坐标为或.

∴直线l解析式为或.

【小结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题,注意认真分析题目中的条件,从而求出正确的结果.

2、在平面直角坐标平面内,O为原点,二次函数的图像经过点

A(,0)和点B(0,3),顶点为P.

(1)求二次函数解析式及点P的坐标;

(2)如果点Q是x轴上一点,以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形,求点Q的坐标.

【解析】(1)由题意得,解得:,;

∴二次函数解析式为,

∴点P的坐标是(1,4);

(2)P(1,4),A(,0),∴

设点Q的坐标是(x,0),则,.

当时,,∴,解得:,(舍去)

∴点Q的坐标是(1,0);

当时,,∴,解得:

∴点Q的坐标是(9,0).

当时,不合题意.

综上所述,所求点Q的坐标是(1,0)或(9,0).

【小结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定,另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性,注意利用勾股定理确定点的坐标.

【巩固提升】

1、如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点A(,0)、B(4,0)、C(0,2).点D是点C关于原点的对称点,联结BD,点E是x轴上的一个动点,设点E的坐标为(m,0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当点E在线段OB上运动时,直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边

形时,求m的值;

(3)是否存在点P,使是不以BD为斜边的直角三角形,如果存在,请直接写

出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【解析】(1)∵二次函数过点A、B,∴设二次函数为.

将点C(0,2)代入,解得.

∴二次函数解析式为:;

(2)D点坐标为(0,).

∴直线BD的解析式为:.

∴P点坐标为,Q点坐标为.

∵CD = PQ,∴.解得:m = 2或m = 0(舍),

故m的值为2;

(3),,.

(注:可设过B或D的与BD垂直的直线,然后与二次函数联立后解出)

【小结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了二次函数解析式的确定,还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定,注意利用相关性质去确定点的坐标.

2、如图,在Rt中,∠ACB = 90°,AB = 13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.

(1)当CE = 3时,求S△CEF∶S△CAF的值;

(2)设CE = x,AE = y,当CG = 2GB时,求y与x之间的函数关系式;

(3)当AC = 5时,联结EG,若为直角三角形,求BG的长.

【解析】(1)∵CD//AB,CE = 3,AB = 13,

∴.

∴.

(2)延长AG交CD于M.∴.∴.

∵CD//AB,∴,∴AE = EM,∴.

(3)∵,∴分两种情况讨论.

①当时,可得AG = GM.

∵CD//AB,∴;

②当时,可得,

∴,.

又∵,,

∴,

∴GA = GB.

∴.

综上所述,若为直角三角形,BG的长为6或.

【小结】本题综合性较强,考查的内容也比较多,包含了面积的比值,函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定,注意在求解析式时,利用角平分线的性质去确定解析式.

专题2 以几何为背景的直角三角形的存在性问题

【知识讲解】

解题思路:

按三个角分别可能是直角的情况进行讨论;

运用相似/全等、勾股定理等方法,计算出相应的边长.

【例题讲解】

1、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA = 4,OC = 2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.

(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;

(2)在点P从O向A运动的过程中,能否成为直角三角形?若能,求t的值.若

不能,请说明理由.

【解析】(1)取CP中点M,作MN⊥OP于N,作DH⊥PA于H.可得,.

∵,,P点坐标为,∴D点坐标为;

(2)当时,,

∴.即,解得:或(舍).

当时,,∴,即,∴PA = 1,∴t = 3

故当是直角三角形时,或3.

【小结】本题一方面考查三角形的旋转问题,另一方面考查相似三角形的性质的运用,注意利用旋转的性质进行求解.

2、如图,在中,CA = CB,AB = 8,.点D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,联结CE、DE.

(1)求底边AB上的高;

(2)设CE与AB交于点F,当为直角三角形时,求AD的长;

(3)联结AE,当是直角三角形时,求AD的长.

【解析】(1)过C作CH⊥AB于H.

∵AC = BC,AB = 8,∴AH = BH = 4.

又∵,∴AC = BC = 5,CH = 3;

(2)分情况讨论:

①当时,F与H重合,∴EH = 2.

∵,∴.∴;

②当时,作DM⊥AC于M,设CM = x,

∵,∴.

∴,∴,解得:.

∴;

综上:当为直角三角形时,AD的长为或;

(3)∵AD = DE,∴为直角三角形时,AD、DE只可能是直角边.

∴.∴.∴.

∴.∴.

【小结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性,解题时根据题意认真分析,注意进行分类讨论.

3、如图,已知为等边三角形,AB = 6,点P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上.

(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y与x的函数关系式及定义域;

(2)当BP = 2时,求CF的长;

(3)是否可能成为直角三角形?若能,求出BP的长;若不能,请说明理由.

【解析】(1)∵为等边三角形,

∴,;

∵,,∴;

又∵四边形DEFG是正方形,∴,,

∴;∴,

∴();

(2)当BP = 2时,,

(3)能成为直角三角形.

○1时,如图;,

解得:.

○2时,如图;则,

解得:.

∴当为直角三角形,BP的长为或者为.

【小结】综合性较强,主要考查动点背景下正方形与直角三角形的存在性,注意对相关性质的准确运用.

4、如图,在中,,AC = 4 cm,BC = 5 cm,点D在BC上,并且CD = 3 cm.现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE // BC交AD于点E,联结EQ.设动点运动时间为x(s).

(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;

(2)当x为何值时,为直角三角形.

【解析】(1)在中,AC = 4,CD = 3,则AD = 5.

∵EP // DC, ∴∽,

∴,即,

∴,;

(2)分两种情况讨论:

当时,如图;

易得,又∵EQ // AC,

∴∽,

∴,即,解得:x = 2.5;

当时,如图;

∵,,

∴∽,

∴,即,解得:x = 3.1;

综上所述:当x为2.5 s或3.1 s时,为直角三角形.

【小结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用,注意得到相应的线段比,从而求出相应的线段长,第(2)问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论.

【巩固提升】

1、如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B是点A关于原点的对称点,P是函数()图像上的一点,且是直角三角形,求点P的坐标.

【解析】分情况讨论,因为点P在第一象限,所以不可能为.

当时,

∴P点横坐标为2,

∴P点为(2,1);

当时,连接OP,∴OP = OA = 2,

设P点为, ∴.

解得:或,

∵点P在第一象限, ∴,

综上,P点的坐标可能为(2,1)或().

【小结】本题主要考查直角三角形的存在性问题,由于本题中P点在第一象限,因此注意直角三角形只有两种情况.

2、如图,在中,AB = AC = 10,cosB = .D、E为线段BC上的两个动点,且DE = 3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止.过E作EF // AC交AB于F,联结DF.

(1)设BD = x,EF = y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

(2)如果为直角三角形,求的面积;

(3)如图2,如果MN过的重心,且MN // BC分别交FD、FE于M、N,求整

个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积(直接写出答案).

图1 图2

【解析】(1)∵EF//AC,∴.

∵AB=AC=10,,∴BC=16.

∴.∴();

(2)∵EF///AC,AB=AC, ∴,∴.

由于,分类讨论:

当时,∵,∴,解得:;

∴的面积为;

时,∵,∴,解得:.

∴的面积为;

综上所述,的面积为或;

(3)面积为(注:形状为一个平行四边形,MN始终为2).

【小结】本题主要考查动点背景下的面积问题,注意进行分类讨论.

专题3 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

知识内容:

在用字母表示某条线段的长度时,常用的方法有但不仅限于以下几种:

(1)勾股定理:找到直角三角形,利用两边的长度表示出第三边;

(2)全等或相似:通过相似,将未知边与已知边建立起联系,进而表示出未知边

(3)两点间距离公式:设、,则A、B两点间的距离为:

解题思路:

利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;

根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)

解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.

注:用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单,但对几何能力的要求较高,用勾股定理则反之.

【例题讲解】

1、如图,已知中,AB = AC = 6,BC = 8,点D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,∠ADE =B.设BD的长为x,CE的长为y.

(1)当D为BC的中点时,求CE的长;

(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(3)如果为等腰三角形,求x的值.

【解析】∵,,

∴.

∴.

∴.

(1)当D为BC中点时,,∴.

(2),x的取值范围为.

(3)分情况讨论,

①当AD = AE时:

∵,∴,此情况不存在;

②当AD = DE时:

∴,即,

解得:(舍)或;

③当AE = DE时:

∴.

∴.

又∵,∴,

∴,解得:,

综上:x的值为2或.

【小结】本题综合性较强,主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用.

2、已知,一条抛物线的顶点为E(,4),且过点A(,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点,它的横坐标为m,且,过点D作轴,垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)求证:GH = HK;

(3)当是等腰三角形时,求m的值.

【解析】(1)∵抛物线的顶点为E(,4),∴设抛物线的解析式为()

又∵抛物线过点A(,0)∴,,∴这条抛物线的解析式为;

(2)∵A(,0),E(,4),C(0,3)

∴直线AE的解析式为;直线AC的解析式为,

∵D的横坐标为m,轴,∴G(m,2m + 6),H(m,m + 3)

∵K(m,0),∴GH = m + 3,HK = m + 3,∴GH = HK;

(3)∵C(0,3),G(m,2m + 6),H(m,m + 3)

1° 若CG = CH,则

解得:,都是原方程的解,但不合题意舍去;所以这种情况不存在.

2° 若GC = GH,则,

解得:,都是原方程的解,但不合题意,舍去.∴;

3° 若HC = HG,则,解得:.

综上所述:当是等腰三角形时,m的值为或.

【小结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题,注意对方法的选择.

【巩固提升】

1、已知:如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BCD=90º, BC=11,CD=6,tan∠ABC=2,点E在AD边上,且AE=3ED,EF//AB交BC于点F,点M、N分别在射线FE和线段CD上.

(1)求线段CF的长;

(2)如图2,当点M在线段FE上,且AM⊥MN,设FM·cos∠EFC=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(3)如果△AMN为等腰直角三角形,求线段FM的长.

【解析】(1)作AG⊥BC于点G,∴∠BGA = 90°,

∵∠BCD = 90°,AD∥BC,∴AG = DC = 6,

∵tan∠ABC = = 2,∴BG = 3,

∵BC = 11∴GC = 8,∴AD = GC = 8,

∴AE = 3ED,∴AE = 6,ED = 2

∵AD∥BC,AB∥EF,∴BF = AE = 6,∴CF = BC-BF = 5.

(2)过点M作PQ⊥CD,分别交AB、CD、AG于点P、Q、H,

作MR⊥BC于点R,易得GH = CQ = MR.

∵MFcos∠EFC = x,∴FR = x.

∵tan∠ABC = 2,∴GH = MR = CQ = 2x.

∴BG = 3,由BF = 6,得:GF = 3,

∴HM=3 + x,MQ = CF-FR = 5-x,AH = AG-GH = 6-2x.

∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH,且∠AMN=∠AHM=90°,

∴∠MAH=∠NMQ,

∴∽,∴,即,

∴,定义域:;

(3)①∠AMN = 90°

1)当点M在线段EF上时,

∵∽,且AM = MN,∴AH=MQ,∴6-2x = 5-x,∴x = 1,∴FM =

2)当点M在FE的延长线上时,同上可得AH = MQ,∴2x-6 = 5-x,∴,∴

②∠ANM = 90°

过点N作PQ⊥CD,分别交AB、AG于点P、H,作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q,

∵AN = MN,易得≌,∴AH = NQ,HN = MQ = 8

令PH = a,则AH = 2a,DN = 2a,CN = 6-2a

∴FR = 5 + 2a,MR = 8 +(6-2a)= 14-2a,由MR = 2FR得a =,∴FR=,MR=,∴FM =,

综上所述,线段FM的长为或或.

【小结】本题综合性较强,考查的知识点也较多,包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用,并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论,注意相关性质的运用.

2、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.

(1)当圆C经过点A时,求CP的长;

(2)联结AP,当AP//CG时,求弦EF的长;

(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.

【解析】(1)作AH⊥BC于H.

∴BH = 4,AH = 3,∴CH = 4.

∴,∴CP = AC = 5;

(2)∵AP//CG,∴APCE为平行四边形,

又∵CE = CP, ∴APCE为菱形.

设CP = x,则AP = CP,∴.

即,解得:,∴;

(3)设,则.

∵,∴,.

分情况讨论

AE = AG,解得:;

AE = GE,解得:,此时E在F点右边,舍去;

AG = GE,解得:或,均不可能,舍去.

当AE = 3时,.

【小结】本题综合性较强,主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用,注意第(3)小问中对求出的值的取舍.

专题4 与圆有关的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

与圆有关知识内容:

在模块一的基础上,加入了与圆有关的要求。相关点主要有:

(1)同圆内半径相等,提供了全等三角形的边或角相等条件;

(2)切线与过切点的半径垂直,提供了可使用的直角三角形

解题思路:

与模块一类似;

(1)利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;

(2)根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程);

(3)解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.

【例题讲解】

1、如图,在中,∠ACB = 90°,AC = 8,tan B =,点P是线段AB上的一个动点,以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D,射线PD交射线BC于点E,点Q是线段BE的中点.

(1)当点E在BC的延长线上时,设PA=x,CE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

(2)以点Q为圆心,QB为半径的⊙Q和⊙P相切时,求⊙P的半径;

(3)射线PQ与⊙P相交于点M,联结PC、MC,当△PMC是等腰三角形时,求AP的长.

【解析】(1)∵AP = PD,∴,

∴,∴PE = PB =,

∵,∴,

∴();

(2)可以求出,,PA = x,.

∴外切时,,解得:,

内切时,,解得:,

综上所述,⊙P的半径为或;

(3),,,

分情况讨论:

PM = PC时,解得:(此时E与C重合);

PM = MC时,解得:或;

PC = MC时,解得:或(舍).

综上所述,AP的长为或或5或8.

【小结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论,另一方面考查了等腰三角形的分类讨论,注意方法的归纳总结.

2、如图,已知在中,,AB = 5,,P是BC边上的一点,,垂足为E,以点P为圆心,PC为半径的圆与射线PE相交于点Q,线段CQ与边AB交于点D.

(1)求AD的长;

(2)设CP = x,的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;

(3)过点C作,垂足为F,联结PF、QF,如果是以PF为腰的等腰三角形,求CP的长.

【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,

,∴.

∵,∴.

∵90°,∴90°.

∵=90°,∴.

∵,∴,∴.

(2)作,垂足为点H.

∵=90°,∴=90°,=90°,

∴,∴.

∵,∴,∴,

即,定义域为.

(3)解法一:在Rt△PBE中,90°,,,

∴,,

∴,.

∴,

如果,那么,解得:.

如果,那么,

解得:(不合题意,舍去),.

综上所述,如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形,CP的长为2或.

解法二:在Rt△PBE中,90°,,,

∴,,

∴,.

如果,那么,

∴,,

∴,∴.

如果,那么,

∴,

解得:,∴.

综上所述,如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形,CP的长为2或.

【小结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点,另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论,注意此题只需分两种情况讨论即可.

【巩固提升】

1、如图,在中,∠C = 90°,BC = 3,AB = 5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为t秒.

(1)当t =____秒时,点P与点Q相遇;

(2)在点P从点B到点C运动的过程中,当t为何值时,为等腰三角形?

【解析】(1)Q到B点需要,

此时P点行了4.5个单位,

两点相距个单位,

再过,即一共过7秒后,P与Q相遇.

(2)P在B到C的过程中,Q从CA边到了AB边,需要分情况讨论

①Q在AC边上,即时,

∵,∴只可能CP = CQ.

∴,解得:;

②Q在AB边且未到B点时,即时,

a) CQ = PQ,作QH⊥AC于H.

∴, ∴,解得:;

b) PC = CQ,

∵,在时,,∴不可能;

c) PC=PQ,

∵,∴不可能.

综上所述,当时,为等腰三角形.

【小结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题.

2、在⊙O中,OC⊥弦AB,垂足为C,点D在⊙O上.

(1)如图1,已知OA = 5,AB = 6,如果OD//AB,CD与半径OB相交于点E,求DE

的长;

(2)已知OA = 5,AB = 6(如图2),如果射线OD与AB的延长线相交于点F,且

是等腰三角形,求AF的长;

(3)如果OD // AB,CD⊥OB,垂足为E,求sin∠ODC的值.

图1 图2

【解析】(1)∵OC⊥AB,∴AC = CB = 3,∴OC = 4.

∵OD//BC,∴OD⊥OC,,∴,∴;

(2)∵OD = 5,OC = 4,是等腰三角形,∴CD = 4或CD = 5.

①当CD = 5时,,∵OC⊥CF,

∴,∴D为OF中点,

∴,∴;

②当CD = 4时,作CH⊥OD于H,作DI⊥OC于I,

∴,∴,

∴,∴, ∴.

(3)∵OC⊥CB,CE⊥OB,∴,∴.

设BC=x,可得,即,解得:(负的舍去).

∴.

【小结】本题综合性较强,主要考查了垂径定理及相似三角形的性质,锐角三角比的综合运用,解题时注意分析.

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