七年级数学角的概念(初中七年级上册数学角的知识教学)

导语：「初中数学」七上《角》你要知道的

一、概念整理

1．角的概念：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，两条射线是角的边

角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的．

2．角的表示方法：

(1)用三个字母及符号“∠”来表示．

(2)以某点为顶点的角只有一个时，也可以用顶点的这一个大写字母来表示这个角．

(3)用一个数字或希腊字母表示一个角．

3．方位角的基准方向：

以南北为基准方向： 南偏东、南偏西、北偏东、北偏西

4．度分秒的换算：

1°＝60′＝3600″

6．角平分线定义：

若一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的角平分线．

7．角平分线的书写：

二、专题巩固

1、概念剖析

例1：

判断正误：

(1)平角是一条直线．

(2)周角是一条射线．

(3)两个锐角的和是钝角．

(4)放大镜下，一个角变大了．

(5)∠AOB和∠BOA是同一个角．

(6)如图所示，图中∠1可表示成∠A，∠2可表示成∠D，∠3可表示成∠C．

解析：

(1)错误，角和直线是两个完全不同的概念，只是平角看似一条直线上有一个端点，实际平角应该如下表示：

(2)错误，角和射线是两个完全不同的概念，只是周角看似一条射线，实际周角应该如下表示：

(3)错误，如锐角30°＋40°＝70°，还是锐角，30°＋60°＝90°，是直角．

(4)错误，放大镜下，角度不变，角的大小只与两条边张开的程度有关．

(5)正确，只要保证中间字母相同，第一与第三个字母交换位置，仍是同一个角．

(6)错误，∠1应该表示成∠DAC，∠2应该表示成∠ADC，∠3应该表示成∠ECF．

2、两解问题

例2：

已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．

分析：

由于本题不清楚射线OC的位置，故需分两种情况讨论，即OC在∠AOB内部，或在其外部．

解答：

①射线OC在∠AOB内部，

∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝45°－30°＝15°，

②射线OC在∠AOB外部，

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋30°＝75°，

综上，∠AOC＝15°或75°．

变式：

已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，则∠MOC＝____°

分析：

我们可以根据题意，画出图形，分两种情况讨论：射线OC在∠AOB内部和外部．

解答：

3、度分秒的转化

例2：

(1)12.53°用度、分、秒表示为__________．

(2) 56°25′12″＝__________°

(3) 18°37′55″＋39°46′23″ ＝__________°

(结果用度表示)．

分析：

度分秒的转化是一个难点，但是只需掌握一定的方法，即可手到擒来．

首先，由度转化为度分秒，需要一步一步乘，什么意思呢？先把度数的小数部分×60，转化为分，再把分的小数部分×60，转化为秒．

由度分秒转化为度，则可以分别直接除，即把分÷60，转化为度，同时把秒÷3600，也直接转化为度，然后都化成小数，不能化成有限小数的，保留带分数形式，加上括号．

对于度分秒的加减法，注意度与度，分与分，秒与秒之间运算，60一进位．

解答：

三、难点提升

1、方程思想

例1：

已知∠AOB＝45°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．

分析：

由于本题不清楚射线OC的位置，故需分两种情况讨论，即OC在∠AOB内部，或在其外部．

解答：

设∠BOD＝x°，

∵∠AOC＝(4x－15)°，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB－∠COD＝90°

x＋(4x－15)＝180－90，

解得：x＝21，

答：∠BOD＝21°

变式：

如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝29°，求∠AOB的度数．

分析：

显然，本题依然可以利用方程求解，设∠COB＝x°，借助已知条件，用含x的代数式表示出∠AOB度数，进而表示出∠COD度数，利用∠COD＝29°，可建立方程，再求∠AOB．

解答：

2、双角平分线问题

例1：

已知∠AOB＝90°，∠BOC＜90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

分析：

显然，这里的∠AOB是确定的，而新引入的射线OC不确定，因此，我们需要分类讨论，双角平分线问题与双中点问题十分类似，

我们首先关注被平分的角，∠AOC，∠BOC中，哪条边出现了两次，即公共边，显然是OC，

那么∠MON的两边，OM，ON，必然要和OC组成∠MOC和∠NOC，而∠MON必然是这两个角的和或差．

至于何时取和，何时取差，我们可以分别作图，根据OC的位置不同，分别讨论求解．

解答：

小结

双中点问题和双角平分线问题，可以用一句话概括，

点在线段上，射线在角内部，一半加一半，

点在线段延长线上，射线在角的外部，一半减一半，

我想，你应该能好好体会．至于上一题，如果∠BOC＞90°，又是怎样的情况呢？就作为思考题吧！

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