高次幂方程怎么解(高次幂因式分解除法)

导语：万变不离其宗，多种方法解高次幂代数式求值。详解初中数学题178

178:已知x+y=1，x²+y²=2。

求x⁷+y⁷的值。

解：方法一:

∵x+y=1，

∴x²+y²+2xy=1。

又∵x²+y²=2，

∴xy=-1/2，

∴可以把x和y可以看成一元二次方程

t²-t-1/2=0，

即2t²-2t-1=0，

∴t=(2±2√3)/2=(1±√3)/2，

∴x=(1+√3)/2，y=(1-√3)/2

∴x²=(2+√3)/2，y²=(2-√3)/2，

∴x⁴=(7+4√3)/4，

y⁴=(7-4√3)/4，

∴x⁴+y⁴=7/2。

∴x⁷+y⁷

=(x³+y³)(x⁴+y⁴)-x³y⁴-y³x⁴

=(x³+y³)(x⁴+y⁴)-x³y³(x+y)

=(x+y)(x²-xy+y²)(x⁴+y⁴)-x³y³(x+y)

=1×(2+1/2)×7/2-(-1/2)³×1

=35/4 + 1/8

=71/8。

方法二：

∵x+y=1，

∴x²+y²+2xy=1。

又∵x²+y²=2，

∴xy=-1/2，

∴x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

=1×(2+1/2)=5/2，

∴x⁴+y⁴=(x²+y²)²-2x²y²

=4-2×(-1/2)²

=7/2，

∴x⁷+y⁷

=(x³+y³)(x⁴+y⁴)-x³y³(x+y)

=(x+y)(x²-xy+y²)(x⁴+y⁴)-x³y³(x+y)

=1×(2+1/2)×7/2-(-1/2)³×1

=35/4+1/8

=71/8。

践行者初中数学，喜欢的请多支持。

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