平行四边形对角互补是什么意思(平面四边形对角互补)

导语：平行四边形——常用模型（三）对角互补模型

对角互补模型经常会在平行四边形这一章进行运用，是必须要熟练掌握的模型。很多同学在做题过程中，不知所云，无从下笔。

下面让我们一起来探究下：

一、 特殊形式——四边形一组对角相等且为90°

①如上图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，BD平分∠ABC，则AD=CD.

证法一：

如上图，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F.

∴∠DEA=∠F=90°

∵BD平分∠ABC

∴DE=DF

∵∠ADC=∠ABC=90°

∴∠ADC+∠ABC=180°

∴∠A+∠BCD=180°

∵∠BCD+∠DCF=180°

∴∠A=∠DCF

∵∠DEA=∠F，DE=DF

∴△DAE≌△DCF

∴AD=DF

证法二：

如上图，在AB上截取EB=BC，连接DE.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∵BD=BD

∴△BDE≌△BDC

∴DC=DE，∠C=∠BED

∵∠ADC=∠ABC=90°

∴∠ADC+∠ABC=180°

∴∠A+∠C=180°

∵∠BED+∠AED=180°，∠C=∠BED

∴∠AED=∠A

∴AD=DE

∵DE=DC

∴AD=CD

（也可延长BC至点F，使得BF=AB，连接DF，证法相同）

②如上图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，则BD平分∠ABC.

证法：

如上图，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F.

∴∠DEA=∠F=90°

∵∠ADC=∠ABC=90°

∴∠ADC+∠ABC=180°

∴∠A+∠BCD=180°

∵∠BCD+∠DCF=180°

∴∠A=∠DCF

∵∠DEA=∠F，AD=CD

∴△DAE≌△DCF

∴DE=DF

∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴BD平分∠ABC

③如上图，在四边形ABCD中AD=CD，BD平分∠ABC，则∠ADC+∠ABC=180°.

证法一：

如上图，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F.

∴∠DEA=∠F=90°

∵BD平分∠ABC

∴DE=DF

∵AD=CD

∴Rt△DAE≌Rt△DCF

∴∠A=∠DCF

∵∠DCF+∠BCD=180°

∴∠A+∠BCD=180°

∴∠ADC+∠ABC=180°

证法二：

如上图，在AB上截取EB=BC，连接DE.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∵BD=BD

∴△BDE≌△BDC

∴DC=DE，∠C=∠BED

∵AD=CD

∴AD=DE

∴∠A=∠AED

∵∠AED+∠BED=180°

∴∠A+C=180°

∴∠ADC+∠ABC=180°

（也可延长BC至点F，使得BF=AB，连接DF，证法相同）

通过③，我们发现对角不一定非要相等且为90°，只需要对角互补，即可.

二、一般形式——四边形一组对角互补

①如上图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，AC平分∠BCD，则AD=AB.

②如上图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，AD=AB，则AC平分∠BCD.

③如上图，在四边形ABCD中，AD=AB，AC平分∠BCD，则∠ADC+∠ABC=180°.

（证法同上）

结语：对角互补模型利用了角平分线的两大辅助线（作垂线和截长补短）——当三个条件（∠ADC+∠ABC=180°，AC平分∠BCD，AD=AB）中，出现其中二个，要想到构造辅助线得到另一个，只有掌握了技巧，我们才能拨云见日.

练习：

1.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，连接BD，∠PBQ＝60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD,CD分别于点E，F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数）.

(1)△ABD和△CBD都是_______三角形；

(2)判断△BEF的形状，并说明理由;

(3)在运动过程中，四边形BEDF的面积是否变化?若不变，求出

其面积的值(用a表示)；若变化，请说明理由；

(4)若a＝3，设△DEF的周长为m，直接写出m的取值范围.

2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6，求四边形ABCD的面积.

3.如图，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B.求证：AP=AQ.

答案：

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