1988年全国高中数学竞赛(1988年全国高考数学)

导语：1988年全国高中数学联赛，集合相关选择题

集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。下面是2道1988戊辰年的关于集合的数学联赛选择题，你能否做出来呢？

题1：平面有3个点集 M,N,P:

M={(x,y)| |x|+|y|<1}，

N={(x,y)| [(x-1/2)²+(y+1/2)²]¹⸍²+[(x+1/2)²+(y-1/2)²]¹⸍²<2√2},

P={(x,y)||x|+|y|<1, |x|<1, |y|<1}, 则下列表述正确的是（ ）

A．M⫋P⫋N B．M⫋N⫋P C．P⫋N⫋M D．A、B、C都不成立

分析：首先要明白⫋这个符号的意思，这个符号读作“真包含于”，也可以写成⊊，表示前者是后者的真子集，被包含集合的元素个数少于包含集合的元素个数。接下来分析3个集合：

M集合是以(1,0)，(0,1)，(-1,0)，(0,-1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；

N集合是焦点为(1/2,-1/2)，(-1/2,1/2)，长轴为2√2的椭圆内部的点的集合(不包括边界)；

P集合是由x+y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合(不包括边界)；

显然M是P的真子集，关于椭圆N，可以求得与坐标轴的交点为±√(12/7)，它的绝对值比1大，因此椭圆能够覆盖正方形和六边形，M和P都是N的真子集。

答案选A

题2：在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式①M∪N∪P=I； ②M≠Ø； ③N≠Ø； ④P≠Ø中，正确的表达式的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：（Ⅰ）首先判断2~4，各集合是否是空集，只要能举出1个元素就不是空集。

对于M，设过原点的直线为y=ax(a≠0)，给定a为无理数，则无论x取任何不为0的整数，y都不为整数，该直线之通过1个整点（0,0），M不是空集，②正确

对于N，设直线为y=ax+b（a≠0，b≠0）,给定a和b为绝对值不相同的无理数，二者之间也没有整数倍关系，则无论x取任何整数，y都不为整数，N不是空集，③正确

对于P，设直线垂直于坐标轴，与坐标轴的交点为整数，则直线通过无穷多个整点，P不是空集，④正确

（Ⅱ）其次分析①，①命题可以等价看做：通过2个及2个以上整点的直线，必然通过无穷多个整点。设直线为y=ax+b，通过2个整点(x₁,y₁)，(x₂,y₂),则直线必然通过第3个整点(x₁+x₂,y₁+y₂)，以此推出必然通过无穷多个整点(mx₁+nx₂,my₁+ny₂)（m,n均为整数），因此①正确

综上，4个表达式都正确，答案选D

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