英国数学竞赛题及答案详解(英国数学竞赛ukmt)

导语：英国数学竞赛题，题目让人目瞪口呆，掌握技巧柳暗花明

题一、已知：x³+y³−z³=96，xyz=4，x²+y²+z²−xy+xz+yz=12，求x+y−z

分析题目分析题目，三元三次方程，理论上求解是可行的，但可操作性太差，似乎无从下手的感觉，我们仔细分析三个方程，不难发现三个方程的未知量都是齐次对称式，而且前两个方程，如果将负Z看成一个整体，那就都是三阶轮换对称式，第三个方程同样可以看成是二阶轮换对称式，此时很容易想到，二阶轮换对称式乘以一阶轮换对称式，不就也是三阶轮换对称式，而所求的代数式刚好不就是一阶轮换对称式，显然不是凑巧，则必然就是解题的思路。

据此分析我们来解题，我们来考察两个一阶轮换对称式，与二阶轮换对称式相乘，即，(a+b+c)(a²+b²+c²)，以及，(a+b+c)(ab+bc+ca)

直接展开这两个乘积项，看下有什么关系存在，首先，展开，(a+b+c)(a²+b²+c²)=a³+ab²+ac²+a²b+b³+bc²+a²c+b²c+c³

将三次项凑到一起，即得到，(a+b+c)(a²+b²+c²)=a³+b³+c³+ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c

接着展开，(a+b+c)(ab+bc+ca)=ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c+3abc

可以看出，两个展开式，后面这一长串代数式完全一致，那我们自然而然想到了两个方程直接相减，不就把这一长串抵消掉了，不就完美破题了，

那相减后，等号左边提取公因子(a+b+c)后得到，(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

等号右边那一长串抵消掉后，就得到a³+b³+c³−3abc ，

此时已经非常明朗了，我们直接令上式中的a=x，b=y，c=−z

代入后即得到，(x+y−z)(x²+y²+z²−xy+yz+xz)=x³+y³−z³+3xyz

然后将已知条件的值代入即可得到，(x+y−z)∗12=96+3∗4

移项后整理即可得到，x+y−z=9

参考答案

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