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高考函数单调性的题型和解题方法(函数单调性的高考题)

导语:高考函数单调性类问题,难,但用上导数将事半功倍

从近几年高考数学试卷来看,导数及导数的应用成为高考的热点,尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点。利用这一性质可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。

用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容,这就要求学生既要对导数知识极其熟悉,还需要有丰富的应试技巧,从而获得高分。

我们在解决导数求函数的单调性有关的试题时候,常常需要对参数进行讨论,而如何讨论?讨论的依据是什么?这个问题是困扰考生的一大难题,也是大家需要解释清楚的问题。

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程,这些都是近年高考数学的热点问题。若利用单调性定义求解,一般较为复杂,做此类题目时学生往往半途而废,失分率较高,但利用导数解决这类问题就变得比较简单,学生也易于接受。

导数极大地方便了对函数单调性的研究和相关问题的解决,主要是基于这样几个性质:

求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

导数求函数的单调性有关的高考试题分析,讲解1:

已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,

∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.

令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,

∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-√2<x<√2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(-√2,√2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减,

则f′(x)≤0对x∈R都成立,

即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.

∵ex>0,

∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.

∴Δ=(a-2)2+4a≤0,

即a2+4≤0,这是不可能的.

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.

​f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

导数求函数的单调性有关的高考试题分析,讲解2:

已知函数f(x)=bx﹣axlnx(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线平y=(1﹣a)x行.

(1)若函数y=f(x)在[e,2e]上是减函数,求实数a的最小值;

(2)设g(x)=f(x)/lnx,若存在x1∈[e,e2],使g(x1)≤1/4成立,求实数a的取值范围.

考点分析:

利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.

题干分析:

(1)求出函数的导数,得到b﹣a=1﹣a,解出b,求出函数的解析式,问题转化为a≥1/(lnx+1)在[e,2e]上恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可;

(2)问题等价于x1∈[e,e2]时,有g(x)min≤1/4成立,通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可.

函数的单调性:

在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.

f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.

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