正切函数的图像和性质教案(二次函数的图像和性质)

导语：正切函数的图像和性质

同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。

上节课我们讲了正弦、余弦函数的图像和性质，这节课我们来看正切函数y=tanx的图像和性质。

1. 定义域、值域和周期

首先y=tanx的定义域和sinx、cosx不一样，因为按照它的定义，要去掉终边落在y轴的角。

也即π/2的奇数倍，写成式子的话就是

x≠kπ+π/2，k∈Z. Z表示整数集。

它的值域也和sinx、cosx都不一样，不再是[-1，1]，而是负无穷到正无穷，也即R.

在x=kπ+π/2(k∈Z)这些没有定义的位置，tanx的值趋向于正无穷或负无穷。x=kπ+π/2(k∈Z)这些直线是y=tanx的渐近线，夹在两条相邻渐近线之间的函数图像的两端不断贴近于渐近线。

y=tanx的最小正周期也和和sinx、cosx不一样，从2π变成了π。

2. 对称性

再来看一下对称性。

y=tanx没有对称轴，但是有无数个对称中心，原点是一个对称中心，相邻两个对称中心之间相距为π/2。所有的对称中心可以表示为(kπ/2，0)，其中k∈Z。

3. 单调性

然后是单调性。y=tanx有无数个单调增区间，没有单调减区间。

每相邻的两条渐近线之间就夹着一个单调增区间。它的单调增区间可以表示为(kπ-π/2，kπ+π/2)，k∈Z.

4. 奇偶性从奇偶性来看，y=tanx=sinx/cosx是一个奇函数与一个偶函数相除，按照奇偶性的判断方法，我们知道它应该是奇函数。或者我们直接根据正切图像的对称性也能得到它是奇函数。

y=tanx和sinx、cosx一样，理解了它的图像，就能记住和理解它的绝大部分性质。

大家明白了吗？下课！

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