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中考原题例说待定系数法的应用题及答案(待定系数法典型例题)

导语:中考原题例说待定系数法的应用

待定系数法是初中数学中的一种常用的解题方法,这里举例说明待定系数法的应用.

一、用待定系数法求方程(组)中待定系数的值

例1(扬州中考题)已知关于x的方程3x+n/2x+1=2的解是负数,则n的取值范围为_______.

分析 求出分式方程的解x= n-2,得出n-2 <0,求出n的范围,根据分式方程得出n-2≠½,求出n,即可得出答案,本题关键是得出n-2<0和n-2≠-½,注意题目中的隐含条件2x+1≠0,不要忽略.

解:3x+n/2x+1=2,解方程得x=n-2.

∵关于x的方程3x+n/2x+1=2的解是负数,∴n-2<0,解得n<2.

又∵原方程有意义的条件为x≠-½,∴n-2≠-½,即n≠3/2.

故答案为n<2且n≠3/2.

例2(黑龙江省龙东地区中考题)已知关于x的分式方程a+2/x+1=1的解是非正数,则a的取值范围是( )

(A)a≤-1 (B)a≤-1,且a≠-2

(C)a≤1,且a≠-2 (D)a≤1

分析 先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是非正数”建立不等式,并求a的取值范围,本题需注意考虑分母不为0,这也是本题最容易出错的地方.

解 去分母,得a+2=x+1,

解得x=a+1.

∵x≤0..且x+1≠0,∴a+1≤0,且a+1≠-1,

∴a≤-1,且a≠-2,∴a≤-1,且a≠2.故选B.

二、用待定系数法确定函数关系式

例3 (扬州中考题)如图1,抛物线y=x²-2x-8交y轴于点A,交x轴正半轴于点B.

(1)求直线AB对应的函数关系式;

(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴,在点A、B之间平行移动,直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ,设M点的横坐标为m,且0<m<3,试比较线段MN与PQ的大小.

分析 第(1)问利用二次函数解析式,求出A、B两点的坐标,再利用待定系数法求出一次函数解析式;第(2)问根据M的横坐标和直尺的宽度,求出P的横坐标,再代入直线和抛物线解析式,求出MN、PQ的长度表达式,再比较即可.

解 (1)当x=0时,y=-8;

当y=0时,x2-2x-8=0,

解得x1=4,x2=-2,

则A(0,-8),B(4,0).

设一次函数解析式为y=kx+b.

将A(0,-8),B(4,0)分别代入解析式, 解得k=2,b=-8

故一次函数解析式为y= 2x-8.

(2)∵M点横坐标为m,则P点横坐标为(m+1).

∴MN=(2m-8)-(m2-2m-8)=2m-8-m2+2m-8=-m2+4m;

PQ=[2(m+1)-8]-[(m+1)2-2(m+1)-8]=-m2+2m+3.

∴MN-PQ=(-m2+4m,)-(-m2+2m+3)=2m-3.

①当2m-3=0时,m=3/2,即MN-PQ=0,MN=PQ;

②当2m-3 >0时,3/2<m<3,即MN-PQ>0,MN>PQ;

③当2m-3<0时,0<m<3/2,即MN-PQ<0,MN<PQ.

例4 (苏州中考题)如图2,已知抛物线y=½x²+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).

(1)b=_______,点B的横坐标为_______;(上述结果均用含c的代数式表示)

(2)连结BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线y=x²+bx+c交于点E,点D是x轴上的一点,其坐标为(2,0).当C,D,E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式.

分析与略解 第(1)问将A(-1,0)代入y=x²+bx+c,可以得出b=½+c;

根据一元二次方程根与系数的关系,得出xB=-2c.

第(2)问如图3,由y=x²+bx+c,求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,c),则可设直线BC的解析式为y=kx+c,将B点坐标代入,运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=½x+c.由AE∥BC,设直线AE,得到解析式为y=½x+m,将点A的坐标代入,运用待定系数法求出直线AE得到解析式y=½x+½.

解方程组y=½x²+(½+c)x+c,y=½x+½

求出点E坐标为(1-2c,1-c),将点E坐标代入直线CD的解析式y=-c/2x+c,求出c=-2,进而得到抛物线的解析式为y=½x²-3/2x-2.

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