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函数的单调性与值笔记(函数的单调性求解方法)

导语:“函数的单调性”是解决“最值”问题的一把金钥匙

函数的最值定理

1、如果对于任意的X∈D,都有f(x)≤M,且存在Xo∈D,使f(Xo)=M,则称M为f(x)在D上的最大值;

如果对于任意的X∈D,都有f(X)≥M,且存在Xo∈D,使f(Xo)=M,则称M为f(×)在D上的最小值。

2、闭区间上的函数f(x)必定存在最大值和最小值。若函数在D上单调,则最值在端点处取得;若不单调,则一定不能用端点的函数值代替。用端点函数值代替最值是学生常常出现的高频错误,纠错方法最简单,就是利用函数的单调性。

3、函数的最值与值域是不一样的。函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。函数的值域为闭区间[a,b],则a为最小值,b为最大值;函数的值域开区间(a,b),a不是最小值,b也不是最大值,此时函数没有最大值也没有最小值。函数的值域为[a,b),函数有最小值a,没有最大值;函数的值域为(a,b],函数有最大值b没有最小值。

题型一:用单调性求具体函数的最值

例:求函数f(×)=x/(X一1)在区间[2,5]上的最值。

习惯性错误:最小值f(2)=2,最大值f(5)=5/4。显然不对。错点是用端点函数值代替最值。

纠错:

f(X)=(X一1+1)/(X一1)=1+1/(X一1)在[2,5]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(5)=5/4。

题型二:对勾函数的最值

对勾函数是一个极其重要的函数模型,其图象和单调性必须要熟练掌握。

例.已知a>0,函数f(x)=x+a/X(x>0).

(1)用定义探求该函数的单调区间,指出其在相应区间上的单调性;

(2)若已知该函数的最小值是a-8,求实数a的值

[思路探寻]先用定义法求出f(x)的单调区间,研究其单调性,利用第(1)问的结论求出最值,最后求实数a。

[解析](1)设x1、x2是任意两个正数,且X1<X2,则

f(X1)-f(X2)=……=

(x1一X2)(X1X2一a)/X1X2

(此时X1X2一a无法确定正负号,要讨论)

当0<X1<X2≤√a时,0<X1X2<a,

又x1ーx2<0,所以f(x1)ーf(x2)>0,即f(X1)>f(X2),所以函数f(x)在(0,√a)上单调递减;

而当√a≤X1<x2时,x1x2>a,

又x1ーx2<0,所以f(X1)一f(X2)<0,即f(X1)<f(X2),故函数f(x)在[a,+∞)上单调递增。

(2)由(1)知该函数的最小值是f(√a)=2√a,依题意,a-8=2√a,

所以(√a)²-2√a-8=0,

解得√a=4(√a=-2舍去)

所以所求的实数a=16。

[同步跟踪]

求函数y=X²一1+4/(X²一1)(0≤x<1)的最值。

[思路探寻]令X²一1=t(一1≤t<O),利用函数y=t+4/t的単调性求解。同学们习惯用“基本不等式得到y=t+4/t≥4,错因“一正二定三相等”第一个“正数条件就不满足。

[解析]令1ーX²=t,∵0≤X<1,

∴一1≤t<0,y=t+4/t,

∵y=t+4/t在[一1,0)上单调递减,(用单调性定义证明,高二可用导数求得)。

∴y=t+4/t在[一1,0)上单调递减,所以当t=一1即X=0时函数取最大值一5,无最小值。

题型三:利用单调性求抽象函数的最值

已知定义在(0,+∞)上的函数f(×)满足f(X1/X2)=f(X1)一f(X2),且当X>1时,f(×)<0。

(1)求f(1)的值;

(2)证明:f(x)为单调递减函数;

(3)若f(3)=一1,求f(X)在[2,9]上的最小值。

解:(1)令X2=X1>0,f(1)=f(x1)一f(X1)=0;

(2)设X1,X2∈(0,+∞),且x1<X2,则X2/X1>1,f(X2/X1)<0,所以f(Ⅹ2)一f(x1)<0即f(x2)<f(X1),故f(X)为单调递减函数。

(3)、由(2),f(x)在[2,9]上单调递减,最小值为f(9)。因f(3)=一1,又f(9/3)=f(9)一f(3),∴f(9)=一2,所以f(X)在[2,9]上的最小值为一2。

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