相似比需要化简吗(相似的比例怎么算)

导语：选择合适的相似比例式化繁为简

中考数学几何综合题中，关于相似三角形的考点非常常见，其中较为困难的则是比例式的变换，从题目条件出发，选择合适比例式，往往能起到化繁为简的作用。

在矩形ABCD中，AD=4，Ab=8，O是AB边上的一个动点，圆O是以OA为半径的圆

(1)如图1，当OA=4时，判断CD与圆O位置关系；

(2)如图2，圆O与CD边相交于P、C两点，过点P的切线交AD于Q点，连接OP，求DQ的长；

(3)如图3，圆O与直线CD相交于P、M两点(M点在C点右侧)，过P点的切线交AD于Q点，连接AM、AP、OP、OC，当∠AMD=OCB时，求DQ的长.

解析：

(1)过点O作OE⊥CD，然后证明CD=OA即可判断CD是切线；

(2)注意△OBC，BC=AD=4，OB=8-OA，于是它的三条边均可用含OC的式子写出来，根据勾股定理列方程即可求得OC=5，即半径为5.不妨设DQ=x，由切线长定理，AQ=PQ=4-x，作OE⊥CD，由三线合一得PC=2CE=6，从而求出DP=2，在Rt△DPQ中利用勾股定理列方程(4-x)²=x²+4，解得x=1.5

(3)先从∠AMD=∠OCB出发，很明显有一对相似三角形△AMD与△COB，此外还有“一线三直角”基本图形，△DPQ∽△EOP，最后还有一对，当连接OQ之后，∠AMD所对的弧为弧AP，而由切线长定理，∠POQ=∠AOQ，因此我们可以证明∠AMD=∠AOQ，从而还能找到一对相似三角形△AOQ∽△BCO，那么到底选择哪些才合适呢？

选择比例式的原则是，比例线段中已知条件越多越好，离结论中的线段越“近”越好。基于这个原则，我们选择两对相似三角形，即上图中的后两种，下面一起来推导：

于是我们可以在Rt△DPQ中再次利用勾股定理列方程，(8-r)²+x²=(4-x)²，将x=1/4(r-4)²代入并化简，得3r²-32r+80=0，解r=4（不合要求，因为M点在C点右侧，而r=4时不是）或r=20/3，最后将它代回到上图中左式，即可求得x=16/9.

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