1963年高考数学试题(1966高考数学)

导语：一道1963年高考数学真题，解方程组，看似不难，正确率却不高

方程和方程组一直是中学数学的重点内容，解方程(组)也是现在中考的必考题型。不过在以前，解方程(组)还是高考的必考内容，比如本文就和大家分享一道1963年解方程组的高考真题。对现在的学生来说，这道题看似并不难，但是正确率却并不高。下面我们一起看一下这个方程组。

这是一个二元二次的方程组，而解多元方程组的基本方法就是消元。但是对于高次方程来说，消元有可能是找到两个未知数之间的关系，也有可能是直接求出了某个未知数的值。观察一下这个方程组，要直接求出某个未知数的值是不太可能的，所以需要先找出两个未知数之间的关系。

下面介绍本题的两种解法。

解法一：

由于方程组中的第二个方程含有根号，所以需要先去根号，即将方程两边同时平方，就可以得到xy+3=x^2。

要找x、y的关系，可以将新得到的方程和第一个方程进行处理，得到只有x、y的关系式，然后进行因式分解。也就是说将第一个方程乘以3再加上新得到的方程，这样就可以消去常数项，得到：2x^2-5xy-3y^2=0。

因式分解，得：(2x+y)(x-3y)=0。

即：y=-2x或x=3y，然后再代入第一个方程就可以消元变成一元二次方程，解出来即可。

解法二：

同样先将第二个方程两边平方，得到xy+3=x^2。此时可以用x来表示y，即先将3移到右边，再同时除以x。不过在除以x之前要先验证x是否为零。如果为零就不能直接除而需要进行分类讨论，如果不为零，那么就可以直接除x了。很明显，将x=0代入第二个方程，就得到了3=0，不成立，所以x=0不是原方程组的解，可以直接除以x，从而得到：y=(x^2-3)/x。

接下来将y=(x^2-3)/x代入方程组中第一个方程就可以达到消元的目的，整理后得到：2x^4-11x^2+9=0。

将上式因式分解得到：(2x^2-9)(x^2-1)=0，即x^2=9/2或x^2=1。这样就可以解出x的值，然后再代入y=(x^2-3)/x中就可以得到y的值。

相比于解法一，解法二更容易想到，但是在除以x的时候如果不排除x=0的情况，那么过程是不严谨的。

这道题看起来确实不难，最多就是计算量稍微有点大而已，但是正确率却不是很高，只因不少人都忽略了这样一个步骤：验根。因为题目已经明确了在实数范围内解这个方程组，那么一个实数的算术平方根肯定是非负数，即x≥0，所以求解后得到的x为负数的那两组根就要舍去。

如果是你做这道题，你能得满分吗？

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