关于大值和小值计算题(关于大值和小值的函数问题)

导语：关于最大值和最小值的问题（三）

利用不等式来求解最值问题

不等式和最值有着密切的联系的。比如，要证明某一个参数v的最小值是a，先证明v>或=a,然后说明v可以取到a，则v的最小值就是a.

1、x，y，z是正实数，满足条件

xyz(x+y+z)=1,求（x+y）(y+z)的最小值。

解：我们已经知道，对于正数a，b，有不等式a+b>或=2✓ab，所以

（x+y）(y+z)=xy+y^2+yz+zx

=y(x+y+z)+xz

>或=2✓xyz(x+y+z)

=2.

当x=z=1,y=✓2-1时，上述不等式取等号，所以（x+y）(y+z)的最小值是2.

2、设x1,x2,x3,x4,x5是自然数，且满足

x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5,

求x的最大值.

解：由条件等式的对称性，不妨假设x1<或=x2<或=x3<或=x4<或=x5,有题设，有

1=1/x2x3x4x5+1/x1x3x4x5+1/x1x2x4x5+1/x1x2x3x5+1/x1x2x3x4

<或=1/x4x5+1/x4x5+1/x4x5+1/x5+1/x4

=(3+x4+x5)/x4x5,

由此得：x4x5<或=3+x4+x5,

即 （x4-1）(x5-1)<或=4.

若x4=1，则x1=x2=x3=x4=1,此时题设等式成为4+x5=x5,矛盾。

若x4>1,则x5-1<或=4，即x5<或=5.当x5=5时，容易解得x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5是满足条件的解，即x5=5是能达到的。所以，x5的最大值是5.

3.若正整数p，q，r使得二次方程

px^2-qx+r=0

在开区间（0，1）内有两个不同的实根，试求p的最小值。

解：设α、θ是二次方程px^2-qx+r=0的两个根，α不等于θ，0<α<1,0<θ<1.现在有

α（1-α）<或=1/4，θ（1-θ）<或=1/4.

上述两个不等式分别当α=1/2，θ=1/2时等等成立。由于α不等于θ，上述两个不等式中至少有一个是严格的不等式，故此

1/16>αθ(1-α)(1-θ)=αθ[1-(α+θ)+αθ]

=r/p(1-q/p+r/p)=r/p^2(p-q+r),

所以：p^2>16r(p-q+r).

又因为f(x)=px^2-qx+r的二次项系数p>0,且它的两个根在（0，1）内，故

f(1)=p-q+r>0,r(p-q+r)>0,由于p,q,r均为正整数，故r(p-q+r)>或=1.从而便得

p^2>16r(p-q+r)>或=16.

所以p>4,即p>或=5.

又当p=5时，二次方程5x^2-5x+1=0的两根α=(5+✓5)/10，θ=(5-✓5)/10均在（0，1）内。故p的最小值为5.

4、设正数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,求证

(xy)/z+(yz)/x+(zx)/y>或=✓3.

证：这是一个证明不等式的问题，可以把它转化为求(xy)/z+(yz)/x+(zx)/y的最小值问题。令

S=(xy)/z+(yz)/x+(zx)/y，则

S^2=(x^2y^2)/z^2+(y^2z^2)/x^2+(z^2x^2)/y^2+2x^2+2y^2+2z^2

=1/2[(x^2y^2)/z^2+(z^2x^2)/y^2]+

1/2[(z^2x^2)/y^2+(y^2z^2)/x^2]+

1/2[(y^2z^2)/x^2+(x^2y^2)/z^2]+2

>或=x^2+y^2+z^2+2=3.

上式当x=y=z=✓3/3时，等号成立。所以S的最小值为✓3，从而

(xy)/z+(yz)/x+(zx)/y>或=✓3.

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