线性定常系统微分方程的求解方法(线性定常微分方程的求解方法)

导语：自动控制原理2.5如何求解复杂的线性定常微分方程

求解线性定常微分方程：

给定输入量和初始条件便可以对微分方程求解。

线性定常微分方程的求解方法有经典发和拉式变换法两种，经典法对于求2阶以下系统比较方便，但对于高阶微分方程的求解非常困难，而拉式变换法对求解高阶微分方程更加方便；

已知二阶系统，L=1H，C=1F，R=1Ώ，电容上初始电压Uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压Ui(t)=1V，求电路突然接通电源时电容电压Uo(t)。

RLC无源电路的二阶微分方程为：

令Ui(s)=L[Ui(t)]，Uo(s)=L[Uo(t)]，由拉式变换微分性质：

电压Uo(t)的导数在t=0时的值:

由此获得二阶微分方程的拉式变换公式：

求得Uo(s):

求取分母多项式的极点：

电路突然接通电源，Ui(t)可以认为阶跃输入信号，Ui(t)=1(t)，Ui(s)=1/s，对Uo(s)求取拉式反变换：

上式中第一项的拉式反变换为：

该项为网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，称为零状态响应；

上式中第二项的拉式反变换为：

该项由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，称为零输入响应；

因此，非零初始条件下单位阶跃响应输出Uo(t)为零状态响应和零输入响应的叠加之和：

如果输入电压为单位脉冲δ(t)，Ui(s)=L[δ(t)]=1，网络输出称为单位脉冲响应，第一项零状态响应公式变为：

零输入响应与零状态响应无关，因此零输入响应保持不变。总的网络单位脉冲响应输出为：

用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程归纳如下：

1， 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；

2， 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3， 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程解。

微分方程解的运动模态：

线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成，通解由微分方程特征根所决定，称为瞬态分量，表示解随时间瞬时变化过程，也称为自由运动，特征根的类型和特征根的重根数对自由运动的形态产生不同的影响，单重实数根的运动模态是按指数规律衰减的瞬态分量；单重复数共轭根的运动模态是按指数规律衰减的震荡瞬态分量；多重根的运动模态不仅按指数规律衰减，而且还与时间乘积有关。

对于一般的微分方程式，拉氏变换反变换的求解方程总结为：

令拉氏代数方程的特征根为：

则求解拉氏反变换：

工程中，通常定义β=180-θ，则上式也可以写为

上图说明了阶跃响应对应的两种运动模态，曲线①表示震荡衰减输出响应曲线，曲线②表示按指数衰减输出响应曲线。绿色坐标表示输出响应坐标，黑色坐标表示运动模态坐标；输出响应曲线是特解与通解的和；

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