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反常积分的收敛性怎么判断(反常积分的收敛准则)

导语:「高等数学」反常积分的计算,并判断它的收敛性

反常积分:反常积分又叫做广义积分,指含有无穷上限/下限,或者被积函数含有瑕点的积分,也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

无穷区间上的反常积分:设f(x)在区间[a,∞)上连续,称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在,称此反常积分收敛;如果右边极限不存在,就称此反常积分发散。

无界函数的反常积分:设f(x)在区间[a,b)上连续,且f(x)在趋向于点b上的极限为∞,成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分),使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点),这个点上是无法积分的。

图一

如图所示,给出一个反常积分,并告诉我们该反常积分收敛,则我们可以得到哪些信息。

通过反常积分的概念,可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分(只要一看积分区间有∞存在,即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分),如果右边的极限存在,就称该反常积分收敛,这个概念说明该反常积分存在极限,这道题反常积分的瑕点为1。

那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算,一个区间是位于(0,1),另一个区间则是位于(1,+∞),我们可以先对第一个区间进行判断,因为要让该反常积分收敛,必须让两个区间的积分都收敛才可以。(一个是无界函数的反常积分,另一个则是无穷区间的反常积分。)

如果说这两个反常积分有一个不存在,就说明该反常积分不存在(发散),反之,要说明该反常积分存在(收敛),说明两个反常积分都要存在才可以。

由第一个区间判断可以得到,a<1;由第二区间判断可以得到当a+b>1时,收敛。

最后得到的结果便是,a<1,a+b>1,该反常积分收敛。

最后给出解答过程:

图二

虽然有这道实例的支撑,但我对反常积分还是不够理解,直到我看到了瑕积分的判敛性定理:

定理一,f(x)在区间(a,b]上连续并且f(x)>=0,设该区间趋向于a的极限存在,那就可以得到当x的幂次方小于1,该反常积分收敛,根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。

定理二,假设f(x)在区间[b,+∞)上连续,并且f(x)>=0,并且可以设为极限在x趋向于正无穷的区间上得到的结果存在。

那么就可以得到,如果该结果属于[b,+∞),且其中x的幂次方大于1,则可以得到该反常积分收敛,则可以得到a+b>1。

当然,还有其他很多定理,这里我就不多讲了,大家自己去看看书,查阅一下资料,总的来说,如果不知道定理,完全可以通过计算定积分的方式来解答出题目,但如果不是太擅长计算定积分的话,那最好可以背诵一下这些定理,有助于解题。

这道题目其实要深究的话还要追溯到一元函数积分学的基本概念,具体的我们后面再讲。

图三

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