一元函数的反函数怎么求(一元函数的反函数存在定理)

在生活中，很多人可能想了解和弄清楚数学基本知识：一元函数的反常积分的相关问题？那么关于一元函数的反函数怎么求的答案我来给大家详细解答下。

前面所说的定积分其积分区间是个有限闭区间[a,b]，且假定被积函数f(x)在此区间上有界。此类积分也称正常积分。

现在将积分区间的端点a或b拓广到无穷大，或将被积函数的有界条件放宽，此类积分被命名为反常积分。其实，所谓的反常积分仅是在正常积分的基础上将区间端点作为变量取其极限，若收敛则此极限就是反常积分。可见，反常积分就是正常积分的极限。下面给出反常积分的定义

定义1：

设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且在任意闭区间[a,X]上可积。若极限

lim[X→+∞] ∫[a,X] f(x)dx

存在，则将此极限称为函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分，表示为

∫[a,+∞] f(x) dx

即

∫[a,+∞] f(x) dx = lim[X→+∞] ∫[a,X] f(x)dx

同样在区间(-∞,b]上可定义

∫[-∞,b] f(x) dx = lim[X→-∞] ∫[X,b] f(x)dx

定义2：

设函数f(x)在x=b点的左领域（即(b-δ,b]）无界，若对于任意η∈(0,b-a)，f(x)在区间[a,b-η]上有界可积，且极限

lim[η→0+] ∫[a,b-η] f(x)dx

存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，即

∫[a,b] f(x)dx = lim[η→0+] ∫[a,b-η] f(x)dx

同样也有类似定义

∫[a,b] f(x)dx = lim[η→0+] ∫[a+η,b] f(x)dx

其中f(x)在x=a点的右领域（即[a,a+δ)）无界。

定义3：

如果同时考虑积分区间的两端极限（无穷或函数无界点），即

lim[X→+∞]∫[-X,X] f(x)dx

或

lim[η→0+] ∫[a+η,b-η] f(x)dx

其中f(x)在a的右领域和b的左领域内无界

或

lim[η→0+] (∫[a,b-η] f(x)dx + ∫[b+η,c] f(x)dx)

其中f(x)在b的领域内无界。

如果收敛，则称相应的反常积分在主值意义下存在。表示为

lim[X→+∞]∫[-X,X] f(x)dx = V.P.∫[-∞,∞] f(x)dx

lim[η→0+] ∫[a+η,b-η] f(x)dx = V.P.∫[a,b] f(x)dx

lim[η→0+] (∫[a,b-η] f(x)dx + ∫[b+η,c] f(x)dx) = V.P.∫[a,b] f(x)dx

反常积分的某些性质和收敛判别法：

1）柯西收敛原理

2）比较判别法

3）柯西判别法

4）阿贝尔判别法

5）狄利克雷判别法

温馨提示：通过以上关于数学基本知识：一元函数的反常积分内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。