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如何化简双重二次根式(怎样化简双重根号)
导语:举一反三系列12——公式化化简双重二次根式
如果形如√(m±√n)二次根式能够进行化简,则化简结果的形式一般是√a±√b,则有
√(m±√n)= √a±√b,
两边平方,得
m±√n=a+b± 2√(ab),
比较两边有理数和无理数,得
a+b=m,ab=n/4,
所以a,b是方程x^2-mx+n/4=0的两根,
解得a,b=[m±√(m^2-n)]/2,
因此,可得双重二次根式的化简公式为:
√(m±√n)= √a±√b,
其中a=[m+√(m^2-n)]/2,b= a,b=[m-√(m^2-n)]/2。
例 化简: √(33-20√2).
解析:可以先把二次根式化为√(33-√800),
这里m=33,n=800,m^2-n=1089-800=289,然后直接代入公式,得:
a=(33+√289)/2=(33+17)/2=25,
b=(33-√289)/2=(33-17)/2=8,
所以原式= √a-√b
=√25-√8
=5-2√2.
如果忘记了公式,则可以按照公式推导过程进行化简:
设√(33-20√2)= √a-√b.
两边平方,得
33-20√2=a+b-2√ab,
所以a+b=33,ab=200,
由韦达定理逆定理,得a、b是方程x^2-33x+200=0的根,
(x-25)(x-8)=0,
所以a=25,b=8,
所以原式=√25-√8
=5-2√2.
练习:化简下列各题:
(1)√(14-√180).
答案:3-√5.
(2)√(33-20√3).
答案:2√3-√5.
(3)√(34-24√2).
答案:3√2-4.
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