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如何化简双重二次根式(怎样化简双重根号)

导语:举一反三系列12——公式化化简双重二次根式

如果形如√(m±√n)二次根式能够进行化简,则化简结果的形式一般是√a±√b,则有

√(m±√n)= √a±√b,

两边平方,得

m±√n=a+b± 2√(ab),

比较两边有理数和无理数,得

a+b=m,ab=n/4,

所以a,b是方程x^2-mx+n/4=0的两根,

解得a,b=[m±√(m^2-n)]/2,

因此,可得双重二次根式的化简公式为:

√(m±√n)= √a±√b,

其中a=[m+√(m^2-n)]/2,b= a,b=[m-√(m^2-n)]/2。

例 化简: √(33-20√2).

解析:可以先把二次根式化为√(33-√800),

这里m=33,n=800,m^2-n=1089-800=289,然后直接代入公式,得:

a=(33+√289)/2=(33+17)/2=25,

b=(33-√289)/2=(33-17)/2=8,

所以原式= √a-√b

=√25-√8

=5-2√2.

如果忘记了公式,则可以按照公式推导过程进行化简:

设√(33-20√2)= √a-√b.

两边平方,得

33-20√2=a+b-2√ab,

所以a+b=33,ab=200,

由韦达定理逆定理,得a、b是方程x^2-33x+200=0的根,

(x-25)(x-8)=0,

所以a=25,b=8,

所以原式=√25-√8

=5-2√2.

练习:化简下列各题:

(1)√(14-√180).

答案:3-√5.

(2)√(33-20√3).

答案:2√3-√5.

(3)√(34-24√2).

答案:3√2-4.

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