三角形倍角模型辅助线的做法(三角形辅助线倍长中线)

导语：中考几何进阶 30 辅助线法则 倍角三角形及性质

中考几何进阶 30 辅助线法则 倍角三角形及性质

主要涉及定义、三边大小关系、如何作已知角的倍角三角形、倍角三角形的4个主要性质。

【定义】

三角形一个内角(称倍角)是另一个内角（称单角）的2倍，这样的三角形叫倍角三角形。显然，α＜60°。

为叙述便利，单角对边或称单角边，倍角对边或称倍角边，余者称第三角或第三边。

【三边大小关系】

倍角边总是大于单角边（c＞a）。

b的位置：

【b＞c＞a】0＜α＜36°：

180－3α＞2α，

【c＞b＞a】36°＜α＜45°：

2α＞180－3α＞α，

【c＞a＞b】45°＜α＜60°：

α＞180－3α，

当α＝36°，为金三角，b＝c；

当α＝45°，为等腰直角三角形，b＝a。

【作图】

如图，已知∠BAK＝α。

过线段AB的中点M，作线段AB的垂分线MD，交AK于D，连接BD。

作B为圆心，BD为半径的圆，交AK于另一点C，

连接BC，就得到倍角三角形△ABC。

〖常见辅助线〗

〖BD〗：作圆B，r＝BC＝a，交AC于另一点D，连接BD。（以第三角顶点为圆心，以单角对边为半径的圆，交第三边于D）

则AD＝BD＝BC；

〖DM〗：作DM⊥AB于M，即等腰△ABD底边的高（三线合一）；

〖BN〗：作BN⊥AC于N，即等腰△BCD底边的高（三线合一）

〖CE、BE〗：作圆B，r＝BA＝c，交AK于另一点E，连接BE（以第三角顶点为圆心，倍角边为半径，交第三边延长线于E）

常见不意味着只有，避免僵化，保持灵活性。

也有在已知角基础上，构造倍角三角形的情形。前述作图就要仔细体会，通过训练，提高空间想象和思维能力。

【性质】三边关系

倍角边与单角边和与差的乘积＝单角边与第三边的乘积。

△ABE∽△BCE：(a＋b)∶c＝c∶a，

即

或者

或者

【性质】诸相等线段

AD＝BD＝BC＝CE＝a，这有时表达为：AN－CN＝BC。

【性质】第三角平分线

第三角（∠B）平分线，分第三边为两线段，其中倍角邻边＝倍角边与单角边之差。

由角平分线定理：

即（两端＋1）：

由倍角三角形三边关系，

即证所求：x＝c－a。

另一种证明方法（常规，截长补短），示于题解图中。

【性质】第三边中点与垂足距离

倍角三角形中，第三边中点与垂足间的距离等于单角边之半。

取AB中点N，连接MN、DN，

则MN∥＝BC/2，∠AMN＝∠ACB＝2α；

DN＝AN＝BN，△AND为等腰三角形，∠ADN＝∠DAN＝α

∠MND＝∠AMN－∠AND＝α，

△MND为等腰三角形，MD＝MN＝BC/2.

或者取BC中点P，连接MP、DP，也可证明MD＝BC/2.

【更多思考】

基于(c＋a) (c－a)＝ab，可以进一步构造更复杂的几何图，仅作为参考，见示图，可以略过。

圆B，r＝a交AB于J，交BE于F，交AB延长线于G：AJ＝EF＝c－a；AG＝c＋a。结果，△ACG∽△EFC。这一结论可以用SAS加以证明，也可以通过纯粹的角度分析加以确认。

示图中所有的，标注的或没有标注的角度，都可以α线性表出，可用以角度分析练手。

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