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上帝创造了整数其余一切都是人造(上帝创造了整数其余一切都是人造的英语)

导语：上帝创造了整数，其余一切都是人造的

第1章　同余数概论（第1～12条）第1章　同余数概论（第1～12条）第1节　同余的数，模，剩余和非剩余 1

假如数b和数c之差能够被数a整除，则称b和c对于a同余；反之则称b和c对于a不同余。我们将数a叫做模。如果b和c同余，则b和c互为对方的剩余，如果不同余，则称其互为非剩余。

这里的数必须是正整数或者负整数[1]，而不是分数。例如，-9和16对于模5同余；-7对于模11是15的剩余，但对于模3是15的非剩余。

因为0能被任何数整除，所以对于任何模来说每个数都与其自身同余。

给定数a，它对于模m的所有剩余都在式a＋km中，其中k是任意整数。由此可以推导出下文给出的显而易见的定理，对这些定理做直接证明是很容易的。

从现在起用符号“≡”来表示同余，必要时可以在后面加上圆括号并写出模；例如，-7≡15（mod 11），-16≡9（mod 5）[2]。

3 定理

给定m个连续整数a，a＋1，a＋2，…，a＋m-1和另一个整数A；那么对于模m，这些整数中有且仅有一个数与A同余。

如果是整数，则a≡A；如果是正分数，则假定k是最接近它且大于它的正整数（或者如果此分数为负分数，则k是最接近它，且绝对值小于它的绝对值的整数）。这时，A＋km将处于a和a＋m之间，这就是要求的数。显然，所有的商…，均处于k-1和k＋1之间，所以它们中的整数不可能多于一个。

第2节　最小剩余 4

因此，对于模m，每个数在数组0，1，2，…，m-1和数组0，-1，-2，…，-（m-1）中都恰有一个剩余，我们将它们称为最小剩余。显然，如果0不是剩余，那么最小剩余总是成对出现，一个为正，一个为负。如果它们的绝对值不相等，那么必有一个的绝对值小于；否则它们的绝对值都等于。因而，每个数总有一个剩余的绝对值小于模的，这个剩余叫作绝对最小剩余。

例如，对于模5，-13的最小正剩余为2（它也是绝对最小剩余），而-3是它的最小负剩余。对于模7，5是它自身的最小正剩余，而-2是它的最小负剩余，也是绝对最小剩余。

第3节　关于同余的基本定理 5

建立起这些概念以后，我们来整理一下关于同余的一些比较明显的性质。

对合数模同余的两个数，一定对这个模的每个除数也同余。

如果若干个数对于同一个模都有相同的剩余，那么，它们彼此都同余（对于同一个模）。

在下面这些定理中，我们也假定模都是相同的。

同余的数有相同的最小剩余；不同余的数有不同的最小剩余。

给定数A，B，C，…，以及数a，b，c，…，如果数a，b，c，…对于同样的模与数A，B，C，…同余，即A≡a，B≡b，C≡c，等等，那么，A＋B＋C＋…≡a＋b＋c＋…。

如果A≡a，B≡b，那么A-B≡a-b。

如果A≡a，那么kA≡ka。

如果k是正数，那么条目7只是条目6的特殊情况，使A＝B＝C＝…，a＝b＝c＝…。如果k为负，则-k为正。因此，-kA≡-ka，因而kA≡ka。

如果A≡a，B≡b，则AB≡ab，因为AB≡Ab≡ba。

给定任意数A，B，C，…，以及数a，b，c，…，若数a，b，c，…与数A，B，C，…对于同样的模同余，即A≡a，B≡b，…则这两组数的乘积也同余，即ABC…≡abc…。

从条目7知AB≡ab，同理ABC≡abc，并可以推广到任意多个因数。

若所有数A，B，C，…都相等，且所有数a，b，c，…都相等，可得定理：若A≡a且k是正整数，则Ak≡ak。

设X是不确定数x的形如Axa＋Bxb＋Cxc＋…的代数函数，其中A，B，C，…都是任意整数；a，b，c，…都是非负整数。那么，如果x的取值关于某个模同余，则对应的X的值也对于这个模同余。

令x取值f，g且f≡g，从定理7知fa≡ga且Afa≡Aga，同理Bfb≡Bgb，…。因此：Afa＋Bfb＋Cfc＋…≡Aga＋Bgb＋Cgc＋…，证讫。

本定理可以推广到含多个不确定数的函数，这很好理解。

因此，如果用连续的全部整数替换x，函数X的对应值就成为最小剩余，并构成一组序列。其中，间隔m（m是模）个项后，重复的项会出现，即此序列是以m个项为周期并无限重复。例如，令X＝x3-8x＋6且m＝5，那么，对于x＝0，1，2，3，4，…，X的值关于模5有这些最小正剩余：1，4，3，4，3，1，4，…，其中前5个数1，4，3，4，3是无限重复的。反过来，如果给x依次赋予负值，序列的周期相同，但项的顺序相反。可知，整个序列不会出现这个周期之外的其他项。

在上例中，X不能与0或者2关于模5同余，X更不能等于0或者2。因此等式x3-8x＋6＝0和x3-8x＋4＝0都没有整数解，也没有有理数解。更普遍地，如果X是不确定数x的函数，形式为：xn＋Axn-1＋Bxn-2＋…＋N，其中A，B，C，…是整数，n为正整数（众所周知，所有代数方程都可以简化为这个形式）。显然，如果对于某个模同余关系X≡0不能成立，则方程X＝0没有有理根。第8部分[3]将对此判别法进行充分探讨。但从这个例子可以看到这些研究的实用性。

第4节　一些应用 12

算术论著中很多常用结论都基于本部分探讨的定理。例如，判定给定的数是否可以被9，11或任何其他数整除的法则。对于模9，所有10的幂都和1同余；因此如果一个数形如a＋10b＋100c＋…，则对于模9，它和数a＋b＋c＋…有相同的最小剩余。因此，如果把一个数用十进位表示法表示，再把每个位置的数字相加，而不考虑它们的数值，它们的和与这个数有相同的最小剩余；因此如果前者可以被9整除，那么后者就能被9整除，反之亦然。对于除数3也是如此。而且，因为相对于模11，100≡1，总有102k≡1，102k＋1≡10≡-1，一个形如a＋10b＋100c＋…的数与a-b＋c…对于模11有相同的最小剩余。由此可以立刻推导出著名的法则。我们可以容易地推导出所有类似的法则。

从上述论证里还可以发现支配着算术运算验算法则的原理。具体说来，就是如果某数是由几个数通过加、减、乘或幂运算所得到的，那么用这几个数对于任意模（通常使用9或11，因为在十进制系统中容易找到剩余，正如刚才看到的那样）的最小剩余代替它们，并做相同的运算。如果得到的结果与该数同余，则运算正确，否则运算有误。

既然这些结论和类似结论都已为大家熟知，在此便不做赘述。

[1] 显然，模必须取绝对值，即无正负符号。

[2] 采用这个符号是因为相等和同余之间非常相似。勒让德因为这个原因，在他的著作中（后面会经常引述此著作）同余和相等使用了同样的符号。为了避免混淆，我们对同余和相等的符号做了区分。

[3] 高斯为《算术研究》设计了8个部分，并且已经基本上写好了处理高阶同余的第8部分。但是，他决定只发表7个部分以节约出版费用。见作者序。

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