什么是母子相似三角形(母子三角形的公式)

导语：共边共角型相似三角形（母子三角形）的定义及基本性质

共边共角型相似三角形（母子三角形）的定义及基本性质

三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。本文介绍的共边共角型相似三角形（母子三角形）是一种特殊的重要的相似三角形模型，熟悉并记住该模型及其相关结论对初中几何知识的学习具有很好的借鉴价值。

一、定义：如图1，三角形ABC与三角形ACD有一条公共边AC和一个公共角∠A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形。如果两个三角形又有一个角对应相等（∠ABC=∠ACD），则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角型相似三角形。这两个三角形彼此相似，由于小三角形ACD寓于大三角形ABC中，恰似子依母怀，又小三角形与大三角形彼此相似，宛如母子神似，故形象地称为“母子三角形”。

二、性质定理：我们可以将“母子三角形”分为普通“母子三角形”和直角“母子三角形”。

1.普通“母子三角形”为经典“母子三角形”（图1），△ABC∽△ACD，三角形对应边成比例，可得出如下结论：

①线段平方：AC ²=AD·AB，即公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项。

②比值：AD/AB=CD ²/BC ²，因为S△ACD/△ABC= AD/AB（两三角形高相等），相似三角形面积比又等于相似比的平方，CD /BC为△ACD和△ABC的相似比。

③其他等积式：AC·CD=AD·BC；AC·BC=AB·CD。

以上结论一般不能在几何题中直接使用，必须先证明三角形 相似。遇到填空题时如果能够灵活应用，则可以提升解题效率。

2. 直角“母子三角形”是共边共角型相似三角形的特殊形式，其所得结论即为射影定理的结论，图形特点就是直角三角形及其斜边上的高所组成的三个两两相似的直角三角形，其中包含的线段关系也可用下列等式表示（图2）。

线段平方：AB²=AH·AC；BC²=HC·AC；BH²=AH·HC，此即射影定理的三个经典公式。所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）可简述为：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。比值：AH/AC=BH²/BC²；CH/CA=BH²/AB²；AH/HC=AB²/BC²；

1/AB²+1/BC²=1/BH²，将上述线段平方值代入即可证明。

3. 其他等积式：AB·BC=AC·BH；AB·BH=BC·AH；AB·HC=BC·BH。

熟悉了共边共角型相似三角形（母子三角形）的定义及基本性质后，遇到证明某线段的平方等于另两条线段的积时，联想到该模型能及时找到解题思路而快速解题。

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