小学数学等差数列题型及解题方法(等差数列的19种经典题型小学)

导语：小学数学重要知识点：等差数列 例题剖析和最全总结分析

等差数列是我们小学必须要掌握的基础知识，在小升初考试多以填空题、计算题的形式出现，并且在初、高中的学习过程中也会经常遇见它，现在就让我们一起来学习一下吧！

知识点：

1.把若干个数排成一列叫数列，其中每一个数都称为一项，排在第一个位置的叫首项，排在最后一个位置的叫末项，从第二项起，后项与前项的差都相等的数列叫等差数列，相邻两项的差叫做等差数列的公差，数列中数的个数叫公差。

2.通项公式：末项=首项+（项数-1）x公差

项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1

求和公式：总和=（首项+末项）x项数÷2

例题：

若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？

分析：根据题目可看成这是一个公差为4，项数为8，总和为304的等差数列，求末项值，根据公式末项=首项+（项数-1）x公差，可计算出末项(最外圈人数)，再根据公式总和=（首项+末项）x项数÷2 即可计算出结果，为方便计算，设首项为a1。

解：设首项为a1

最外圈人数：a1+(8-1)x4=a1+28

304=（a1+a1+28）x8÷2

2a1+28=76

a1=24

24+28=52（人）

答：最外圈有52人。

等差数列总结

一通项公式

通项公式：an=a1+(n-1)·d

推论：an=am+(n-m)·d ，其中am表示为第m项

备注：

等差数列的通项，整理后为类似一次函数“an=kn+b”形式，其中等差数列的公差d为k。另外凡是一个数列的通项可以写成类似一次函数 “an=kn+b”的形式，那么这个数列一定是等差数列。

二求和公式Sn=na1+n(n-1)/2，这个公式通常在解答题运用比较多

Sn=n(a1+an)/2，这个公式通常在选择、填空运用比较多

备注：

1.等差数列的前n项和公式，整理后为类似二次函数“Sn=An2+Bn (常数项为0)”形式，其中等差数列的公差d为2A。另外凡是一个数列的通项可以写成类似二次函数“Sn=An2+Bn(常数项为0)”形式，那么这个数列一定是等差数列。

2. 针对等差数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a1跟d两个未知量,从而进行求解。

三等差中项

如果2m=p+q，则2am=ap+aq

备注：

题目中如果给出三项的和，通常都可求出中间项为多少。例如已知等差数列a1+a2+a3=9，即可知a2=3，因为a2是a1跟a3的中间项；再如已知等差数列a1+a5+a9=12，即可知a5=4，因为a5是a1跟a9的中间项

例题：

数列{an}是等差数列，已知a5=3，求S9=?

解析：

S9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9，可以发现a5是a1和a9，a2和a8，a3和a7，a4跟a6的中间项，即2a5=a1+a9，剩下的同理，所以S9=9a5=27

变式：

数列{an}是等差数列，前3项的和为6，后3项的和为18，Sn=128，求n

备注：

当n为奇数，

，其中

为Sn的中间项。

例如：n=11 ，S11=11a6，a6是S11的中间项。

当n为偶数，

，其中

为Sn的中间两项。

例如：n=12，S12=6(a6+a7）， a6和a7是S12的中间两项。

四等差性质

1.如果{an}是等差数列，Sn是数列{an}前n项和，那么Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……也是成等差数列

例题：

已知{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，S6/S3=3，求S12/S3=？

解析：

根据上面性质可知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9也是成等差数列，令S3=m，则S6=3m，则这个新的等差数列的首项是m(S3)，第二项是2m(S6-S3)，所以公差d=2m-m=m，即可算出第三项S9-S6=3m，又S6=3m，所以S9=6m，同理可算出S12=10m，则S12/S3=10

2.{an}和{bn}是等差数列，Sn跟Tn分别是{an}和{bn}的前n项和，那么

例题：

已知{an}和{bn}是等差数列，Sn跟Tn分别是{an}和{bn}的前n项和，已知

，求a5/b5=?

解析：

3.如果{an}是等差数列，公差为d，每隔k项之后(am,am+k,am+2k,am+3k ……) 也是等差数列，公差为k·d

4.如果{an}是等差数列，公差为d，数列总共有2n(偶数)项，奇数项有n个，偶数项有n个，那么

其中an跟an+1是这个数列（总共有2n项）的中间两项，因为数列的总项数是偶数的，所以才有中间两项，另S偶-S奇=nd；如果数列总共2n+1(奇数)项，奇数项有n+1个，偶数项有n个，那么

其中an+1是这个数列(总共有2n+1项)的中间项，因为数列的总项数是奇数的，所以中间只有一项。另S奇-S偶=an+1。

例题：

已知{an}是等差数列，当n=25时，奇数项的和与偶数项的和之比是多少

解析：

根据上式可知，如果数列为奇数项，所以

，已知2n+1=25，则n=12，则

变式：已知等差数列{an}总共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是多少？

五最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值

例题：

已知{an}是等差数列，an=2n-49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n=？

解析：

根据an的通项公式可以看出，a1=-47，d=2，这是一个递增的数列，令an=0，即算出n=24.5，又n是正整数，所以当n=24时，a24＜0，当n=25时，a25＞0，则可以得出，前24项均为负的，从第25项开始为正，所以n=24时，Sn最小。

备注：

在求前n项和的最值时，首先要令an=0，求出为0的项数。

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