一致连续的函数一定连续吗(一致连续函数一定连续吗求证明)

探究一致连续函数的商的性质，首先要探究一致连续函数的倒函数的性质。与和、差、积的探究类似的，要先在有限区间上进行探究。

设f在区间I上一致连续，且f(x)>r>0，若I为有限区间，证明：1/f在I上一致连续.

证：∵f在区间I上一致连续,

∴对任给的ε>0, 存在δ>0, 当x’,x”∈I，|x’-x”|<δ时，有

|f(x’)-f(x”)|<r^2ε, 从而有【这是一致连续的定义。r^2ε是ε的增函数，所以与ε本质上是一致的，都是表示一个无穷小量】

|1/(f(x′))-1/(f(x′′)) |=|(f(x′ )-f(x′′))/(f(x′ )f(x′′))|<(r^2 ε)/(f(x′ )f(x′′))<ε, 【若f(x)中至少有一个是无穷小量，就不能保证不等式成立。所以一致连续函数的商在有限区间上一致连续的条件包括，原函数不是一个无穷小量，且不变号。但是它们都不是必要条件，因为两个相同的函数的商恒等于1，它就一致连续，且不受变号，以及无穷小量的影响】

即1/f在I上一致连续.

又由f(x)一致连续，则-f(x)一致连续，可证f(x)<r<0的情形。接下来分析商的情况。

结合一致连续函数的积在有限区间上也一致连续，就可以知道，只要做为除数的函数不是无穷小量，且不变号，那么两个一致连续函数的商在有限区间上也一致连续。

即当f,g在有限区间I上一致连续时，只要恒有g>r>0(或恒有g<r<0)，那么f/g就一致连续。

最后我们来看看一致连续函数的商在无限区间的情况。首先，在有限区间的条件也要满足。即做为除数的函数不变号且不是无穷小量。此时，商的性质与积的性质相同，即不一定一致连续，也不一定不一致连续。

例如：f(x)=g(x)=x，在无限区间上都一致连续，且f/g=1在无限区间上也一致连续。而f(x)=x和g(x)=cosx+2在无限区间都一致连续，且g(x)>1>0, 但f/g=x/(cosx+2)不一致连续。

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