三角形重心有什么性质(三角形的重心有什么定理)

导语：三角形重心的三个重要性质

三角形重心是三角形三条中线的交点，是一个非常特殊的点，具有很多特殊的性质。有些涉及重心的问题，直接使用这些性质会事半功倍。下面简要总结一下。

1.三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则AO：OD=BO：OE=CO：OF=2:1

证明：

如图，连接EF与AD交于G，由三角形中位线定理知，EF∥BC。又因E为AC中点，因此G是AD中点。

因为△EOG∽△BOD，且相似比为1：2，因此可计算出：

AG：GO：OD=3:1:2，于是AO：OD=2：1。其他同理。

这个定理在一些给出重心要求计算边长关系的问题中相当有用。

2.三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则S△AOB=S△BOC=S△COA

证明：先证S△AOB=S△BOC，其他同理。

（计算三角形面积基本上要做“高”的辅助线）

因为△AOB=△BOC同底，因此其面积比等于高长比

过A做AP⊥BE于 P，过C做CQ⊥BE延长线于Q。

因E是AC中点，AE=CE，由AAS定理易得△AEP≌△CEQ

因此AP=CQ

S△AOB：S△BOC=AP：CQ=1，因此S△AOB=S△BOC

3.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如图，O是△ABC内一点，O到三条边的距离分别为h₁、h₂、h₃。

求证：当O为△ABC的重心时，h₁•h₂•h₃取最大值

证明：设三角形三条边长分别为a、b、c，连接AO、BO、CO。

S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△COA =1/2（a•h₁+b•h₂+c•h₃）

给定了△ABC，那么S△ABC是定值，三边长a、b、c也是定值。

变化的是O的位置，也就是h₁、h₂、h₃是变量。

若求h₁•h₂•h₃的最大值，那么最直观的是使用基本不等式。

利用不等式的思想就是：“将变量向定量上凑”。

因为给定的定量是三角形的边长和面积，那么就要凑出

h₁•h₂•h₃≤X（X是定值）的形式，且一定是朝着

S△ABC=1/2（a•h1+b•h2+c•h3）的方向做变换

积与和之间的基本不等式为：几何平均数≤算数平均数

当有两个变量时，其形式为：

当有三个变量时，其形式为：

于是我们可以得到：

（当且仅当ah₁=bh₂=ch₃时等号成立，等号成立的条件极其重要）

那么，无需继续进行计算，只需要知道当ah₁=bh₂=ch₃时，h₁•h₂•h₃取最大值即可。

那么此时S△AOB=S△BOC=S△COA，即O是重心。

因此，当O为△ABC重心时，到三边距离之积最大。

本文内容由快快网络小蔼整理编辑！