材料力学变形(材料力学中变形的概念)

导语：材料力学第3章：变形和应变(5章讲完材料力学核心)

之前的笔记都在说应力的问题，但是应力其实不是用来描述材料变形程度的度量，我举个例子，我有两根尺寸完全相同的圆柱体，但是一根是橡胶材质，一根是合金钢材质，毫无疑问，橡胶材质可以变形更大，但是橡胶材质的应力肯定不可能超过合金钢材质。因此应力其实和变形程度的大小没有必然的联系！为了描述变形程度大小的问题，我们提出一个新的概念：应变。

应变描述的是一个物体变形程度，但是它不同于变形这个概念。我还是举一个例子来说明：两个金属棒，一根 10mm 长，一根 20mm 长。10mm 的受力伸长 1mm，20mm 的受力伸长 1.5mm，此时绝对变形量（也就是我们常说的变形的概念）肯定是后者 1.5mm 的更加大一点，但是应变却不一样了，应变是一个相对的概念：

图 3.1 应变计算公式

图 3.1 为应变的计算公式，根据这个公式 10mm 金属棒的平均应变是 10%，而 20mm 金属棒的平均应变是 7.5%。这样我们就能比较不同形状物体变形程度的问题。这时候大家也要注意一个事，应变计算的分子分母单位相同，所以最终出来的应变是一个无单位的量，也就是我们说的无量纲量。

图 3.2 应变分类

应变的分类是和应力完全一模一样，在之后的材料关系中我们会进一步说到应力和应变的关系。接下来我们先强调下应力和应变的一个概念性问题：应力描述的是结构的强度，即结构抵抗破坏的能力，而应变描述的是结构的刚度，即抵抗变形的能力，这两者是完全不一样的。

在我们实际的结构设计中，这两者都是我们关注的重点。但是非常不幸的是，我们多数工程师在设计的时候基本只考虑强度问题，却很少去关注刚度问题。其实刚度问题在我们身边的设计中经常遇到，很多时候我们在设计产品的时候考虑刚度问题要高于强度问题，比如传动精度问题，定位精度问题，加工机床这些都是刚度设计的典型，这时候其实由于刚度要求高，所以材料在强度设计上一般都是过剩。所以我们在机械设计当中其实考虑强度还是考虑刚度是有一个优先的问题。我经常会翻查一些产品的设计标准，尤其钢结构你会发现他们在设计的时候很多时候是用刚度计算来做设计的主要原则。

图 3.3 金属棒的变形

接下来我们继续回到金属棒的变形上来，根据我们的生活经验知道，金属棒被拉长必然会变细，因此它的应变存在于两个方向，一个是轴向，一个是径向，如图 3.4 的纵向应变和横向应变，至于应变计算公式完全可以套用图 3.1 的公式得到，这时候一个重要的材料力学中的概念就出现了：泊松比，是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，泊松比是反映材料横向变形的弹性常数，一般用字母 ν 表示，所以根据泊松比的概念描述，它也是一个没有量纲的量。

图 3.4 泊松比的意义

泊松比也是材料的一个基本参数，和材料的大小和形状无关，泊松比有以下几个基本的特点：

1. 泊松比必须小于 0.5；

2. 金属材料的泊松比在 0.27-0.3 之间

3. 橡胶的泊松比在 0.4-0.5 之间，一般非常接近 0.5，多数时候我们会选择 0.49 附近的值；

4. 软木的泊松比接近于 0。

我们机械行业最常用的材料就是金属和橡胶，偶尔还有塑料产品，塑料这种人工制品根据实际工程应用要求的不同，基本上所有的参数都有很大的变化，没法用经验性的语言描述，只能在实际遇到的过程中想办法测试查找参数。

这里稍微补充说明下剪应变的计算方法，图 3.5 已经是非常熟悉的一张图了，从剪力到剪应力到现在的剪应变，都是这张图，我们来看看剪应变是怎么计算的。我们规定剪应变 γ=AA′/ AB，细心的会发现，其实 AA′/ AB=tgθ，这个时候有个非常重要的计算变形，很多工程师在这里肯定已经忘记，在前几章节我们讲到过小变形问题，材料力学都是基于小变形假设这个问题，所以虽然图形表现夸张了一点，但是我们始终是小变形模型，所以当 θ 很小的时候，在高数中是可以推导出 tgθ≈θ，所以最终剪应变 γ=θ。

图 3.5 剪应变

到这里我们以上的关于应力应变的基本概念问题全部都讲解完成，我们在这里稍微重新对之前的问题整理一下：

力的基本分类：拉压、剪切、扭转和弯曲；

应力分类：正应力（σ）和剪切应力（τ），正应力就是拉压所产生的应力；

应变分类：正应变（ε）和剪切应变（γ），正应变就是拉压所产生的应变。

以上的 4 个字母非常重要，基本上所有和力学相关的教材或者标准上出现这 4 个字母基本就代表这四个概念，所以以后工程师看到这四个字母千万不要有恐惧的不良反应，其实就代表这四个概念。这时候我们很多工程师肯定也会有疑问，力的基本分类里面的扭转和弯曲问题呢？所以接下来就让大家看下扭转也好，弯曲也好变形的本质到底是什么。

扭转变形和剪应变的关系：

图 3.6 扭转示意图

假设扭矩 MT 作用于圆杆，圆杆发生了扭转变形（一般力学中 M 代表的都是扭矩）。从图中可以看出原本 AB 和 CD 这两个虚线段，因为 MT 的扭转发生了偏移，变成了 AB′和CD′，同样在圆面上形成了一个角度∠BO B′，这个角度就是扭转角。

图 3.7 扭转简化图

图 3.7 就是通过图 3.6 转化过来的简化图，从这张图上可以马上看出，这张图就是图 1剪应变的示意图么，于是∠DC D′（∠BAB′）就是剪应变的角度。接下来在讲解新的内容前要说明一个问题，图 3.6 和图 3.7 中以 B′D′这条线段为例，在图 3.6 中是一条圆弧，在图 3.7中是平行四边形的一条边，注意，在这两张图中，两条线段的长度是相等的，也就是弧长等于这条直线段！于是很多人就想不明白，我们工程师最擅长的就是看各种视图，这种视图怎么转变过来尺寸都是会变化的，为什么这里是相等的。很简单，这个内容其实在之前的读书笔记当中已经说到过，材料力学研究的是小变形，虽然你看到的这些东西肉眼看起来都很大，实际上都是非常微小的尺寸，在很小的一段圆弧上，我们是可以近似认为直线和圆弧相等。

于是就有了接下来的推导内容：

图 3.8 扭转的计算推导 1

图 3.8 中可以直接得到线段 DD′的长度是等于 rφ（φ 代表弧度，圆弧的计算就是弧度乘以半径），那再将这个结果放到图 3.5 中进行剪应变的计算就会得到：

图 3.9 扭转的计算推导 2

于是马上可以得出，剪应变 γ=rφ/L，通过这个公式大家可以看出，在圆心处，半径 r=0，所以剪应变也为 0，随着半径的增大，剪应变慢慢增加，这个就是剪应变在圆柱扭转问题上的一个基本应用，所以通过这段的解释说明，我们知道一个受扭转为主的结构体，剪应变（剪应力）是一个非常重要的关注量，因为他的失效很可能就是由剪应变（剪应力）所产生。

弯曲变形和正应变的关系：

图 3.10 弯曲示意图

图 3.10 所示，假设弯矩 MB 作用于长为 L，直径为 D 的圆杆，圆杆发生弯曲从 ABCD变为 A′B′C′D′。

图 3.11 弯曲变形示意图

将图 3.10 的 A′B′C′D′局部选取一个位置进行放大，如图 3.11 所示。圆杆的上部分伸长，下部分缩短！也就是图 1 中 AC 伸长为 A′C′，BD 缩短为 B′D′。

图 3.12 中性面

这个时候我们仔细思考，从伸长的 A′C′到缩短的 B′D′，这个过程中中间必然有一层面长度是不发生变化的，这层面叫做中性面（也有书上叫做中立面），如图 3.12 中的 MN 变为圆弧 M′N′长度未发生变化。注意这个面未必处于 AB 的中点！中性面在很多地方会频繁使用。弯曲最重要的应用之一就是钣金折弯，钣金折弯就有中性面位置的设置问题，K 因子就是中性面位置的相关系数。所以钣金折弯其实是材料力学中弯曲的应用问题。所以要搞清楚钣金折弯问题，不仅仅是经验，材料力学弯曲的计算问题也是很重要的。

图 3.13 应变计算

接下来我们来看看让人头痛但是比较重要的计算，通过图 3.13 我们基本上知道这个计算就是弧长=半径×弧度来表示圆弧，于是图 3.13 中假设有一个位置的圆弧 E′F′=（R+y）θ，中性面的长度 M′N′=Rθ，如图 3.14 所示.

图 3.14 变形前后尺寸变化量

同时回忆下应变的计算公式，应变=长度变化量/原始长度，所以：

应变 ε=（E′F′- M′N′）/M′N′=[(R+y)θ- Rθ]/ Rθ=y/R

上式就是完全变形的计算公式。到这里我们最基本的应力和应变问题都已经全部说完，仔细回忆之前的内容其实我们都在反复说拉压变形问题和剪切问题，其实材料力学最基础的问题就是这两个问题，之后所有的变形都是这两种变形问题的组合而已。

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