初等矩阵简单性质证明(初等矩阵的基本性质)

导语：初等矩阵简单性质

(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。

由于当A与B是同阶方阵时，|AB|=|A||B|，而初等变换中对单位矩阵交换两行或者两列只是改变方阵的行列式的正负号，或者乘以一个常数，所以初等矩阵的行列式不会对于0，因此是可逆的。

初等变换吧改变矩阵的秩：

因为对矩阵做初等行变换，就相当于对齐次线性方程组做同解变换。而方程组同解时，当然它的秩（即独立方程的个数）就不会变。对于列变换可以相应考虑。

这一步很容易理解，假设一个三阶行列式A交换第一行和第二行得到B，那么B又可以通过逆交换得到A，两者之间只是相差一个正负号而已。

参考如下矩阵分为两部分：

下面是列变换：

比如：

上图是左乘初等矩阵，结果是交换了第一行和第二行。左乘的这个矩阵可以看作是由单位矩阵交换两行得到。

上图是右乘初等矩阵，结果是交换了第一列和第二列。右乘的这个矩阵可以看作是由单位矩阵交换两列得到。

这里用到的证明方法就是最简单的把行列式的某一列，除了某个特定元素之外全部变成0的方法。

简单来说：

1：初等变换有三种。

2：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵是初等矩阵，初等矩阵可逆。

3：左乘初等矩阵是进行行变换，右乘则是列变换。

4：可逆矩阵都可以经过初等变换化为单位矩阵。

5：可以通过初等行变换的方法求矩阵的逆矩阵。

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