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无穷大究竟有多大(无穷大是什么概念)

导语:你有没有想过,无穷大到底有多大?

今天开始介绍本数学科普神作《从一到无穷大》,这本书最厉害的是有没有基础都能看懂。

先来看看无穷大到底有多大吧。

无穷大的数字,在数学上经常能碰到,但是没人能真正想象出,无穷大的数字到底有多大。数学家对无穷大做过很多研究,发现它的性质,跟普通的数字完全不同。最先思考无穷大这个问题的是一位叫康托尔的数学家,他提出了一个问题:像1、2、3、100这样的整数,一共有无穷多个;一条线上点的数目,也是无穷多个。那整数的个数和一条线上点的个数,到底哪个更大些呢?你肯定会想,这不是抬杠吗?既然都是无穷大了,那还怎么比呢?无处下手嘛。但数学家还真想出了一个办法,叫“一 一对应”。

用一个简单的例子来说明一下。假如有一群不懂数学的原始人,他们手上有一堆石头和一堆铜钱,那他们怎么知道是石头的数目多,还是铜钱的数目多呢?你可以想象,他们肯定会把石头和铜钱一个个摆开,然后一一对应,用一个石头对应一个铜钱,如果最后剩下了铜钱,那就是铜钱多,剩下了石头,那就是石头多,如果刚好能做到一一对应,一个不多一个不少,那两者就一样多。

数学家们在比较两个无穷大的大小的时候,用的就是类似的方法。比如说,奇数和偶数的数目都是无穷的,那奇数和偶数哪个更多呢?你可以用奇数1对应偶数2,奇数3对应偶数4,奇数5对应偶数6……这么一来就会发现,奇偶数可以一一对应,所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。这个很容易理解,但如果往下再追问一层,问题就复杂了。

比如说,偶数的总数和整数的总数,哪个更多呢?整数包含了所有的偶数和奇数,所以乍看起来,肯定是整数要比偶数多。但如果你用一一对应的规则来算一下的话,就会发现结论好像不是这样:你看,整数1可以对应偶数2,整数2可以对应偶数4,整数3可以对应偶数6,你可以一直这么对应下去,发现二者刚好是可以一一对应,一个不多一个不少的。也就是说,整数的数目,跟偶数的数目,其实是一样多的。由此可见,在无穷大的情况下,部分是可以等于整体的,这跟我们的常识很不一样,是违背我们的直觉的。

如果你想形象化地理解这个问题,那可以借助德国数学家希尔伯特提出的一个著名的思想实验,叫“希尔伯特的旅馆”。希尔伯特旅馆是一家拥有无穷个房间的旅馆,而且所有的房间都已经住满了。那如果这时你要去住店,旅馆能不能装得下呢?老板说,可以!我把你安排到1号房间,然后把原来住在1号房的旅客移到2号房间,2号房的旅客移到3号房,3号房的旅客再移到4号房……一直这么移下去,大家就都能有房间住。那如果说,你不是一个人去住店,而是带了无穷多的人一起去住店,那旅馆能不能住得下呢?答案还是可以。老板可以把1号房的旅客安排到2号房,2号房的旅客安排到4号房,3号房的旅客安排到6号房……这么一直递推下去,所有新来的人都可以住进去。

从“希尔伯特的旅馆”中就能看出,在无穷大的情况下,整体和部分有可能是一样大的。无穷大加上无穷大,还是等于无穷大,日常的数学观念在这里失效了。那是不是说,所有无穷大的数字都是相等的呢?也不是。我们可以回到刚才康托尔提出的那个问题,整数的个数,和一条线段上的点的个数,哪个更多呢?

继续用一一对应的方法来看一下。我们可以给线段上的每一个点都赋予一个数字,这个数字就是它距离线段一个端点的距离,这很好理解。那这条线段上不光有代表整数的点,还会有代表小数的点,还有代表无限不循环小数的点。如果你用整数去一一对应这些点的话,就会发现,无论你用什么方式,总有一些点是你对不上的。所以,虽然二者都是无穷大的,但线段上点的数目,要大于整数的数目。也就是说,即使都是无穷大,但不同的无穷大之间也可能存在着大小区分。有些无穷大,就比其他的无穷大要高上一个等级。

目前数学家发现,无穷大数一共分了三个等级。一级,就是整数的数目。二级,是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。三级无穷大,是所有曲线的形状的数目。什么意思呢?就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线,随便画,你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数,是无穷大的,而且是第三级无穷大,是最高等级的无穷大。直到现在为止,数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。

题外话:读书可以扩充我们知识边界,获得更多看问题的视角,但盲从是要不得的...

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