搜索
写经验 领红包
 > 设计

黎曼函数是什么意思(黎曼ζ函数维基百科)

导语:认知即思索:黎曼ζ函数是什么?(3)

本作较为硬核,大家可以先读之前的两篇再读此文。——笔者

这一次,我们把目光投向了黎曼函数最为神秘的那一部分——Re(s)∈(0,1)

Re(s)∈(0,1)

它满足这个表达式:

黎曼Zeta函数在Re(s)∈(0,1)这一段本来是发散的,经过解析延拓后,黎曼把它弄得收敛了:

解析延拓使得原来没有意义的区域变得有意义了

黎曼Zeta函数在Re(s)∈(0,1)这一段具有对称性,它满足:

在黎曼ζ函数中,唯独S=1这个点是不可解析的奇点,也就是无定义的点,我们为了保证黎曼ζ函数解析延拓后的对称性,令

(给不可解析的点赋一个值,这样做只是为了保留对称性,实际上这个不可解析点并不等于什么值,它是发散的,以我们目前的认知是无法研究奇点内部的性质的)

这样只是为了保证对称性,实际上没有什么意义,奇点是无法研究的

于是,现在我们得到了整个复平面内黎曼ζ函数的表达式,这就是黎曼ζ函数的全貌:

黎曼ζ函数的全貌

引自up主“3bluebrown”

我们把这4个函数部分“合4为1”,可以得到一个综合表达式:

这个等式看似复杂,实际上描述的还是上面那个复变函数图

好了,准备工作终于算是做完了,让我们引出传说中的黎曼猜想:

黎曼猜想是什么,其实很“简单”就可以理解了,就是让你解复变函数条件下的方程:

1.首先,人们看了看Re(s)>1,发现没有零点,也就是s在这个区间里没有解。

2.接着,人们看了看负半平面的表达式,发现有解:

这很好理解,函数定义域要求我们只能取负值,sinkπ等于0,ζ(负数)不等于0

比如:

这种奇怪的等式在分析真空涨落下的宇宙能量密度中有应用

3.然后,人们取s=x+yi,发现负半平面没有零点了,它只有sinkπ的零点解。人们把sinkπ的这种解称为平凡零点。意思就是平凡的、寻常的ζ(s)=0的数值解。

最后,人们把目光投向了Re(s)∈[0,1):

这下子可难倒了无数的人!

黎曼告诉人们——在Re(s)∈[0,1)范围内的使得ζ(s)为零的解有无穷无尽个,而黎曼认为所有的零解都位于1/2直线上,但是没能给出数学证明,这就是所谓的黎曼猜想。

有些人“不服”,他们做了大量数学实验寻找1/2直线以外的零点,企图推翻黎曼猜想。然而目前人们已经发现的前一亿亿亿亿...个零点都位于1/2这条直线上,还没能出现反例。

然而必须给出严格的数学证明,黎曼猜想才能算真正成立,因为一亿亿亿亿...在无穷大面前渺小不堪,没人能保证下一个验证的零点不会出问题。

非平凡零点都位于直线1/2上吗?

我们把这种零点称作非平凡零点,意思就是不寻常的解。

前15个非平凡零点,大家可以带进去试算一下,看看究竟是不是0

欲知后事如何,请听下回分解~

爱因斯坦

免责声明:本文由原创用户编辑投稿,若来源犯您的合法权益,请与我们取得联系,我们更正修改。2023年04月08日由小萱整理编辑!