巧用韦达定理打开思路枷锁(巧用韦达定理打开思路枷锁的方法)

导语：巧用韦达定理打开思路枷锁

在解中考压轴题过程中，往往会遇到各式各样的思维障碍，这些障碍的形成一般可追溯到很早以前，可能是一次课堂中的一次走神，也可能是一次作业中的错误未及更改，更可能是某个定理长久未使用导致遗忘……

上述这些因素就成为了思路枷锁，而打碎这些枷锁，需要认真读题、仔细回想、用心思考。读题是为了不漏掉题目条件，很多时候学生读题过程中，因为漏看某句话而导致思路不通的情况比比皆是，而回想则要求尽可能多地将与本题相关的解题经验提取出来，和题目条件进行适配，从而让自己更快找到解题思路。

韦达定理在一元二次方程这一章节中，人教版教材并没有单独强调，但在教学中，我们多少都会进行总结，毕竟两根之和与两根之积的推导过程其实也是一个熟悉公式的过程。在压轴题中，巧妙使用韦达定理，有时会起到意想不到的作用，甚至是解题的关键钥匙。

题目

抛物线L：y=-x²+bx+c经过点A(0,1)，与它的对称轴直线x=1交于点B。

(1)直接写出抛物线L的解析式；

(2)如图1，过定点的直线y=kx-k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N，若△BMN的面积等于1，求k的值；

(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标。

解析：

(1)既然是要求直接写，一定有直接写的理由，也就是说这一小题根本不需要草稿纸，仅凭观察及简单的口算便可得到结果。抛物线L中，只有一次项系数b和常数项c不知道，而给出的点A坐标，即为抛物线与y轴交点，这个纵坐标就是c的值，同时，对称轴x=-b/2a=1中，可以算出b=2，因此抛物线L的解析式的确可以直接写出，y=-x²+2x+1

(2)过定点的直线，这个定点我们不妨先求一下，未来某个解题步骤还需要它，将k作为公因式提出来，我们将直线解析式写为y=k(x-1)+4，通过观察，发现当x=1时，无论k取何值，y=4，因此这个定点坐标为(1,4)，似乎也在对称轴上，我相信这应该不是意外。然后根据题目描述，直线与抛物线交于两个点M、N，那么联立方程从而求点坐标是常规思路，先按这条路走下去，联立的方程为x²+(k-2)x+3-k=0，难道要用这个一元二次方程来表示点M、N的横坐标？复杂度太高了点吧？先放在这里吧！看后面条件还说了些什么，△BMN的面积等于1，这显然是个等量关系，应该是前面那个联立方程解出的根，表示M、N坐标，从而将△BMN面积表示出来得到等式（方程）来求解，这条路是没错，但计算量太大，就此陷入死胡同了，计算吧？量太大，也不知对错，不计算吧？又没别的路可走了。

还是先把△BMN面积表示出来吧，或许能有突破口，即使没有，捞点步骤分也值。结果发现又遇到新困难，真是旧伤未复，又添新痕。

表示三角形面积，通常情况下用面积公式或割补法，本题中显然面积公式不好用，底和高都不好用含k代数式表示，割补法怎么下刀？横切还是竖切？尝试几回发现都有问题，这时一定要回过头看看最初那个定点E，将直线MN画完整，然后再观察，我们可以将△BMN看成是由△BEN减去△BEM得到，而它们有公共底BE，而且BE可求，抛物线L的顶点B坐标为(1,2)，所以BE=2，而这两个三角形的高，我们可以分别过点M、N向对称轴作垂线MG、NH，下面可表示出△BMN的面积了，如下图：

而MG、NH的长度，和点M、N的横坐标有关，若将点M、N的横坐标分别用x1和x2表示的话，那么MG=x1-1，NH=x2-1，让我们继续推导上面的面积，如下图：

原来面积等于两根之差啊！这不正好可以利用前面那个联立后未能解出来的一元二次方程了吗？思路赫然开朗，如下图：

(3)很显然，两个三角形相似，但又未指明对应边，需要分情况讨论，这种小儿科根本难不倒人嘛！可是后面有一句话令人费解，“符合条件的点P恰有2个”，难不成还有1个或3个甚至多个？先不管三七二十一，将相似三角形比例式列出来，看看是什么样的方程再说吧！

设点P坐标(0,p)，同时抛物线L1向上平移了m个单位，于是它的解析式变为y=-x²+2x+m+1，顺便表示出C(0,m+1)和D(2,m+1)，这样我们便可以表示出CD=2，PC=m+1-p，OP=p，OF=1，开始列两种情况下的比例式方程了，如下图：

第一种情况是一元二次方程，可能有两个实数根，第二种情况是一元一次方程，只可能有一个实数根，那么结果可能会有1个、2个、3个实数根的情况，再来读前面那句话，应该明白它的意思了，意味着一元二次方程只可能是两个相等的实数根，即△=0，于是思路可以继续进行下去了，令它的△=0，解得m=2√2-1，最后求点P坐标为(0,2√2/3)

解题反思：

本题的两个难点分别是韦达定理的使用和对“符合条件的点P恰有2个”的理解，特种是第一个难点，十分不易想到，毕竟多数同学写到那个联立后又不能解的方程便放弃了，韦达定理十分适用于那而些“解不出来”的一元二次方程；同时面积表示过程中，横竖切割一旦不奏效，也会进一步放弃，而直线经过的定点E恰恰在其中起到了关键作用，题图中并没有画出，而需要自己动手，因此，勤于作图的同学应该在思考过程中占到意想不到的便宜。这道习题其实对平时刻苦勤奋的学生是十分友好的，对靠小聪明的学生无疑是巨坑，依然是常规解题方法，只要平时注重反思，将它真正理解吸收了，那么在解题过程中，才能做到思如泉涌，下笔如有神。

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