高考三角函数怎么提分的(高考三角函数怎么提分快)
导语:高考三角函数怎么提分
三角函数恒等变换
【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看,对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算为主,其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点2.分析近年考情可知,命题模式一般为1~2题,其中,选择(填空)题多为低档题,主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等.解答题则主要考查三角函数的图像与性质、三角函数的恒等变换、解三角形、向量与三角函数综合问题、三角函数的实际应用,一般出现在前两个解答题的位置,难度中等.3.高考常设置必考1个解答题,或者再加上1个客观题,约合12-17分。
【考查形式】 1.三角恒等变换是高考的热点内容,在解答题中多作为一种化简工具考查,其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点,侧重于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查,常与其他知识交汇以解答题的形式考查,难度中等.
3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容.在解答题中主要考查:(1)边和角的计算;(2)面积的计算;(3)有关范围的问题.由于此内容应用性较强,解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中等.
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).
(2)商数关系:tan α=cos α(sin α),k∈Z(π).
2.六组诱导公式
角
函数
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
2(π)-α
2(π)+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
对于角“2(kπ)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号.”
3.常用角的弧度和正余弦、正切函数值
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
0
sin
0
1
0
cos
1
0
1
tan
0
1
-1
0
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R且x≠2(π)+kπ,k∈Z
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
+(π)
2kπ(k∈Z)上递增;+(3π)
2kπ(k∈Z)上递减
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增;[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减
+(π)
kπ(k∈Z)上递增
最值
x=2(π)+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-2(π)+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ,0)(k∈Z)
+kπ,0(π)(k∈Z)
,0(kπ)(k∈Z)
对称轴
方程
x=2(π)+kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
研究三角函数图像与性质的常用方法
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解.
(2)对于形如y=asin ωx+bcos ωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=sin(ωx+φ),(a)a2+b2(b)的形式来求.
1.求三角函数的最小正周期
(1)周期函数的定义:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
(3)首先利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,则最小正周期T=
。
2、求三角函数的单调区间时应注意以下几点:
(1)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,由-2(π)+2kπ≤ωx+φ≤2(π)+2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由2(π)+2kπ≤ωx+φ≤2(3π)+2kπ(k∈Z)求得函数的减区间.
(2)形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x的系数变为正数,得到y=-Asin(ωx-φ),由-2(π)+2kπ≤ωx-φ≤2(π)+2kπ(k∈Z)得到函数的减区间,由2(π)+2kπ≤ωx-φ≤2(3π)+2kπ(k∈Z)得到函数的增区间.
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.
(4)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
3、求三角函数的对称轴、对称中心
(1)利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴、对称中心,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴的求法是,令ωx+φ=2(π)+kπ(k∈Z),然后求出x的对称轴;对称中心令ωx+φ=kπ(k∈Z),然后求出x的对称中心。
(2)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
4、三角函数形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像平移变换
(1)确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法:
在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=2(M-m),k=2(M+m),ω由周期T确定,即由ω(2π)=T求出,φ由图像中的特殊点确定.
(2)由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是ω(|φ|)(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是于ωx加减多少值.
(1)先平移后调频把y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
(2)先调频后平移把y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
kπ≤ωx+φ≤2(3π)+2kπ(k∈Z)求得函数的减区间.
(2)形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x的系数变为正数,得到y=-Asin(ωx-φ),由-2(π)+2kπ≤ωx-φ≤2(π)+2kπ(k∈Z)得到函数的减区间,由2(π)+2kπ≤ωx-φ≤2(3π)+2kπ(k∈Z)得到函数的增区间.
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.
(4)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
3、求三角函数的对称轴、对称中心
(1)利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴、对称中心,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的对称轴的求法是,令ωx+φ=2(π)+kπ(k∈Z),然后求出x的对称轴;对称中心令ωx+φ=kπ(k∈Z),然后求出x的对称中心。
(2)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
4、三角函数形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像平移变换
(1)确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法:
在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=2(M-m),k=2(M+m),ω由周期T确定,即由ω(2π)=T求出,φ由图像中的特殊点确定.
(2)由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是ω(|φ|)(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是于ωx加减多少值.
(1)先平移后调频把y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
(2)先调频后平移把y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象
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