比例式等积式证明的常用方法(比例的等积式化成八种比例式)

导语：初中数学：比例式和等积式的证明方法与技巧

在证明比例式或等积式时，很自然想到需要应用相似三角形，证明此类题目，我们可以依照以下思路：

（1）看是否有可以直接利用的三角形，若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；

（2）如无，则需构造平行线或相似三角形；

（3）若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个关系紧密（通常有角相等或线段成比例）的三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换。

一、有可以直接利用的三角形

例1、如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G．

（1）请写出AE和CF的数量关系：　 　；

（2）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求证：EG2＝GH•AG．

二、无直接可利用的三角形时，构造平行线或相似三角形

1、构造平行线

2、等积过渡法

例3、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.

求证：(1)△DEF∽△BDE；

(2)DG·DF＝DB·EF.

3、两次相似法（不同于等比过渡法）

4、等线段代换法

例5、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F

求证：BP2＝PE·PF.

说明：对于这种平方等于乘积的形式，一般要围绕等式后项中两条不同的线段所在三角形构造相似三角形；而平方项中的线段一般可以在构造的相似三角形中找到等量相等。

例6、如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE•BA．求证：ED•AB＝AD•BD．

三、题目中线段先乘积后加减

看到题目中线段先乘积后加减，说明有线段要截取。

例7、证明：在 BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，

可得： AD•BC=BE•AC，①

又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，

即得AB•CD=DE•AC，②

由①+②可得：AB•CD+AD•BC=AC（BE+DE）=AC•BD

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