矩形折叠值问题(矩形折叠值问题解题技巧)
导语：矩形-折叠：最值
例 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点A落在边BC上的E处，折痕为PQ.当点E在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点E在边BC上可移动的最大距离为__________.
解析
(1) 由折叠，得：AP＝EP，QE＝QA.
∵BE≤PE，∴BE≤AP.
如下图，当P点与B点重合时， BE＝PE＝AB＝3，即P与B重合时，BE的值最大为3.
(2) 若BE最小，则CE最大.
如下左图，CE＝.要CE大，则DE必须大.DE≥QE，而QE＝AQ，AQ的最大值＝AD＝5，
∴DE(＝QE)的最大值是5，∴CE的最大值为＝4，则BE的最小值为5－4＝1，即Q与D重合时(如下右图)，BE的值最小为1.
(3) 点E在边BC上可移动的最大距离＝BE的最大值－BE的最小值＝3－1＝2.
答案 2
练习
1. 如图，在矩形纸片ABCD中，折叠纸片使点A落在边BC上的E处，折痕为PQ.当点E在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.限定点P、Q分别在边AB、AD上移动.
(1) 若AB＝4，AD＝7，则点E在边BC上可移动的最大距离为________.
(2) 若AB＝5，AD＝9，则点E在边BC上可移动的最大距离为________.
解析
(1) 如下图，同例题得：当P点与B点重合时， BE值最大＝AB＝4.
如下图，Q与D重合时，BE的值最小.
∵CE最大值＝，
∴BE的最小值＝7－.
∴点E在边BC上可移动的最大距离＝BE的最大值－BE的最小值
＝4－(7－)＝－3.
(2) 如下图，当P点与B点重合时， BE值最大＝AB＝5.
如下图，Q与D重合时，BE的值最小.
∵CE最大值＝，
∴BE的最小值＝9－.
∴点E在边BC上可移动的最大距离＝5－(9－)＝－4.
2. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，四边形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出；若没有，填“无”.最大值为________；最小值为________.
1.
答案 (1)－3；(2)－4
2.
解析
(1) 如下图，由折叠得PB＝PE，∠1＝∠2.由EF∥AB得∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，PE＝FE，∴PB＝FE，∴四边形PBFE是平行四边形.
(2) PB越大，则PE越大，PA越小，∴AE越大.
∵平行四边形面积＝PB×AE，
∴AE最大，平行四边形面积最大；AE最小，平行四边形面积最小.
(3) 如下图，当P点与A点重合时，AE值最大＝AB＝6，
平行四边形最大面积＝PB×AE＝6×6＝36.
(4) 如下图，Q与C重合时，AE的值最小.
∵CE＝10，CD＝6，∴DE＝8，∴AE＝2.
设PB＝x，则AP＝6－x，PE＝x，由勾股定理得：
=＋，∴x＝，∴平行四边形最小面积＝PB×AE＝×2＝.
答案 36，
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