分小互化概念(什么是分小互化)

导语：小升初数学｜分小互化深度剖析

​​

今天要为大家剖析的是小升初高频考点——分小互化，看完别忘记点赞、关注➕收藏哟[机智]。

在进入今天的主题前，我们先来说说小数的分类，都有哪些小数呢？（见图1）

图1

补充说明：

1⃣️纯循环小数：循环节从小数点右起第一位开始的循环小数，如0.3535……

2⃣️混循环小数：循环节不是从小数点右起第一位开始的循环小数，如0.12364364……

了解了小数，接下来我们一个一个探讨分数与小数之间的关系，以及如何实现分小互化。

一、有限小数如何化分数？

刚接触小数时，我们是从十进制‬分数‬（十进制‬分数‬指‬分母‬为‬10、100、1000……这样‬能‬写成‬10的‬幂‬形式的‬分数‬）开始的‬，小数‬与‬十进制‬分数‬存在‬什么关系‬呢‬，见‬图‬2。

图2

观察图2，不难发现：

一位小数，可以转化成分母为10的分数；

两位小数，可以转化成分母为100的分数；

n位小数，可以转化成分母为10的n次方的分数；

这个规律还可以进一步推广，用字母符号来表示，见图3:

图3

二、当你亲笔计算后会发现，分数化小数可以分为2类:除得尽与除不尽

1、经过有限次除法就能除尽的分数——可以化为有限小数。

为了弄清怎么回事，我们先来思考一下下面这个问题，如图4所示:

图4

想一想：

问题1⃣️：所有的分数都能化成有限小数吗？

问题2⃣️：能转化成有限小数的分数的分子、分母具备哪些特征呢？

基于我们前面探讨的有限小数如何化分数（见图3）的内容，现在理解哪些分数可以化成有限小数也不是什么难题。我们可以先来挑战一下几道题（见图5）来感受一下，哪些分数可以化成有限小数，这样的分数有什么特征？

图5

不难发现，能化成有限小数的分母‬，都是‬可以‬转化‬成‬10、100、1000……10^n的。而将‬10^n分解质因数‬后‬，不难发现‬，它‬质因数‬组成‬只有‬2和‬5。分母‬的‬特征‬我们‬已经找到了‬，那‬能‬化成有限小数的‬分数‬的‬分子‬有什么‬要求吗‬？分子‬有没有‬什么‬要求‬。

等等，接下来这个情况（见图6）好像不太符合我们刚才总结的规律：

图6

仔细观察后不难发现，12/15这个分数并不是最简分数，经过化简，12/15可以转化成4/5，是可以化成有限小数的，所以，刚刚的规律有个非常重要的前提条件：我们探讨的是哪些最简分数可以化成有限小数。

综上‬，最简‬分数‬a/b，若‬分母‬a中‬不含‬2和‬5以外‬的‬质因数‬，则‬这个‬分数‬可‬化成‬有限小数‬；若‬分母a中‬含‬除‬2、5以外‬的‬质因数‬，则‬这个‬分数‬不可以‬化成‬有限小数‬。

‬上面这个‬结论‬是否‬严谨‬，作为‬数学‬老师‬，还是‬需要‬验证一下‬（验证‬过程‬见‬图‬7），学生‬不做‬要求‬。

图7

2.经过多少次都除不尽的分数——可以化成无限循环小数。

无限循环小数分为纯循环小数和混循环小数。

1⃣️我们先来讨论纯循环小数与分数的关系：

图8

图9

图8、图9是比较常见的循环小数化分数的方法，大家可以再多挑战一下几道题，想想最终化成的分数，分子、分母分别与原来的循环小数有什么联系？

观察后，我们可以发现，最后分数的分子与原来循环小数的循环节一致；分母都有数字9组成，想一想9的个数会与什么有关呢？（答案见图10）

纯循环小数化分数的方法，可以总结如下：

图10

最后，别忘记，结果是分数的要写成最简分数哟[耶]。

2⃣️混循环小数与分数的关系：

如，你知道如何将0.123434……这个混循环小数化成分数吗？前面已经知道了如何将纯循环小数化成分数，现在我们要讨论的混循环小数0.123434……与循环小数之间有啥联系？也许屏幕前的你发现了，如果将0.123434……的小数点往右移动两位，就变成了12.3434……这样的小数。等等，这不是个纯循环小数吗？接下来，又可以利用纯循环小数化分数的方法来解决了[机智]，具体过程如下：

图11

混循环小数化分数，会不会也存在某种规律呢？大家不妨多练习几道混循环小数化分数问题，如：0.1567567……，0.2461515……等等，建议写清楚过程。

在练习的过程中，思考一下这几个问题：

(1)我要干什么，我在干什么（主要是弄清每一步在做什么，对于解决问题会有什么帮助）

(2)最后结果的分子是如何确定的，与原来的混循环小数有什么联系？

(3)最后结果的分母又是如何确定的，与原来的混循环小数有什么联系？

怎么样，练习完了吗，我们先来一起揭晓一下两道题的正确答案：

图12

图13

观察后，我们发现，最后结果的分子是整个小数部分减去不循环的部分（简称“整体减部分”）；最后结果的分母由9和0组成，经过分析，我们可以发现，9的个数与组成循环节的位数一致，0的个数与不循环部分的位数一致（简称“循9不循0”）。

到目前为止，有限小数和无限循环小数与分数的关系我们已经捋清楚了，那无限不循环小数是否也能转化成分数呢？

为了方便弄清这个问题，我们不妨换个角度思考一下，两个整数相除，如果除不尽结果有没有可能是无限不循环小数，带着这个问题，我们来挑战一下1/7化成小数，结果是多少？

图14

问题1不难思考，我们知道余数要比除数小，除数是7，余数的取值可能是0-6这七种情况。

问题2在计算1除以7时，除数7始终是不变的，当余数再次为3时，落下来一个0继续算，又变成了30除以7，商还是4。最后结果的也可以推测出来了，你知道是多少吗？

问题3两个数相除，除不尽时，结果不可能为无限不循环小数，只能是循环小数。这是为什么呢？两数相除，无论除数是多大，只要是一个具体的数，要保证余数比除数小，余数的取值必须是有限的，当余数出现和之前相同的情况，就意味着商的循环节开始了。这个解释小学生比较能接受，对于经验丰富的老师，还是要知道严谨的证明过程。具体过程可以参考德国数学家施笃兹关于无限不循环小数是无法表示成分数的证明。下面是我的另一种证明方式，感兴趣可以看看，见图15:

图15

到目前为止，小数与分数的关系终于水落石出，分数化小数时，只有三种情况‬情况出现，这样我们可以，这样我们可以把一开始讨论的小数分类表进行以下拓展：

图16

也就是说，无限不循环小数就是不能化成分数的数，数学中我们称这类数为无理数；将可以化成分数的小数，即有限小数、无限循环小数统称为有理数。

最后，前面学过的整数，与今天我们讨论的分数、小数又是什么关系呢，下面我用了一幅维恩图给大家简单汇总一下。

图17

好啦，今天的分享到这里就结束啦，看完记得点赞，关注➕收藏哟。[机智]

本文内容由小涵整理编辑！