平方根与立方根的计算方法(平方根和立方根的概念和性质)

导语：初中数学丨平方根、立方根的有关概念

1.平方根

a.平方根的概念

b.算术平方根的概念

注意：算术根号a具有双重非负性，即根号a≥0；算术平方根与平方根的定义中，a应为非负数，即只有正数和零才有算术平方根和平方根；负数没有算术平方根和平方根。

c.开平方

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0和1.

d.平方根的性质

正数有两个平方根，它们互为相反数；

0的平方根是0；

负数没有平方根。

例1：求下列各数的算术平方根。

例2：若数m的平方根是2a＋3和a－12，求m的值。

解：∵负数没有平方根，故m必为非负数。

（1）当m为正数时，其平方根互为相反数，故（2a＋3）＋（a－12）＝0，解得a＝3，故2a＋3＝2×3＋3＝9，a－12＝3－12＝－9，从而a＝9×9＝81.

（2）m等于0时，其平方根仍是0，故2a＋3＝0且a－12＝0，此时两方程联立无解。

2.立方根

a.立方根的定概念

b.开立方

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。立方与开立方互为逆运算。

c.立方根的性质

正数的立方根是正数；

负数的立方根是负数；

0的立方根是0.

3.立方根与平方根的区别与联系

a.两者的联系

①都与相应的乘方运算互为逆运算。开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。

②在研究被开方数和平方根的关系时，都有类似小数点的移动规律。

③0的平方根和立方根都是它本身。

b.两者的区别

①在用符号表示平方根时，根指数2可以省略，而用符号表示立方根时，根指数3不可省略。

②只有非负数才有算术平方根，而立方根任何数都有。

③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个。

④被开方数的小数点移动2位时，平方根的小数点向相同方向移动1位；被开方数的小数点移动3位时，立方根的小数点向相同方向移动1位。

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