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短路径问题初中数学(初中数学短路径问题(经典版)分析)

导语:中考数学试题解析之最短路径问题

早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.

一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:

将军每天从军营 A 出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的 B 地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为 “将军饮马” 的问题广泛流传.

知识储备:利用轴对称知识解决最短路径问题.

典型解析:

【例题 1】如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为 32 cm,在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).

【答案】20.

【分析】解:如图,将杯子侧面展开,作点 A 关于 EF 的对称点 A′,

连接 A′B,则 A′B 即为最短距离,A′B = √(A′D²+BD²)=20(cm).

当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时,通常情况下都会考虑将其展开成一个平面,运用勾股定理计算其最短路程,也就是运用 “化曲为平” 或 “化折为直” 的思想来解决问题.

【例题 2】如图,∠AOB = 60°,点 P 是 ∠AOB 内的定点且 OP = √3,若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点,则 △PMN 周长的最小值是(  )

A.3√6/2

B.3√3/2

C.6

D.3

【答案】D.

【分析】

解:如图作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N,

则 MP = MC,NP = ND,OP = OD = OC = √3,∠BOP = ∠BOD,∠AOP = ∠AOC,

∴ PN + PM + MN = ND + MN + NC = DC,

∠COD = ∠BOP + ∠BOD + ∠AOP + ∠AOC = 2∠AOB = 120°,

∴ 此时 △PMN 周长最小,

作 OH⊥CD 于 H,则 CH = DH,

∵ ∠OCH = 30°,

∴ OH = 1/2OC = √3/2,CH = √3OH= 3/2,

∴ CD = 2CH = 3.

【例题 3】如图,⊙M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是 ⊙M 上的任意一点,PA⊥PB,且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点,若点 A、点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为( )

A.3

B.4

C.6

D.8

【答案】C.

【分析】解:

∵ PA⊥PB,

∴ ∠APB = 90°,

∵ AO=BO,

∴ AB = 2PO,

若要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,

连接 OM,交 ⊙M 于点 P′,当点 P 位于 P′ 位时,OP′ 取得最小值,

过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,

则 OQ = 3、MQ = 4,

∴ OM = 5,

又 ∵ MP′ = 2,

∴ OP′ = 3,

∴ AB = 2OP′ = 6.

【例题 4】如图,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点,点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点,则 MP + PN 的最小值是( )

A.1/2

B.1

C.√2

D.2

【答案】B.

【分析】解:如图,作点 M 关于 AC 的对称点 M′,连接 M′N 交 AC 于 P,

此时 MP + NP 有最小值,最小值为 M′N 的长.

∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称,M 是 AB 边上的中点,

∴ M′ 是 AD 的中点,

又∵ N 是 BC 边上的中点,

∴ AM′∥BN,AM′=BN,

∴ 四边形 ABNM′ 是平行四边形,

∴ M′N = AB = 1,

∴ MP + NP = M′N =1,即 MP + NP 的最小值为 1.

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