高中数学空间几何体的表面积和体积公式(空间几何体的表面积与体积题型)

随着新课改的不断深入，现代数学教育越来越加强对学生的逻辑思维能力、系统处理问题能力等等的培养，特别是突出运用知识解决实际问题能力的培养，让学生具备有运用数学知识解决实际生活问题的能力。

数学学习，我们经常强调要关注和重视知识间的关联性，要让学生通过动手操作，启迪思考，从而达到锻炼思维的目的。因此，在课堂教学过程中，我们不仅要关注数学的特殊性，更加需要引导学生的“学”方式的转变，关注学生的知识实际应用能力。这样做的目的一个是让学生主动接受数学的逻辑性学习，排除枯燥的学习氛围；另一个是让学生把众多数学知识带你建立联系，形成知识网络，彻底把基础打扎实。

我们经常说数学来源于生活，同时又服务于生活。像空间几何体就是与生活密切相关的数学知识，在我们身边随处可见棱柱、棱锥、棱台等实际例子。空间几何的表面积和体积是空间几何模块的基础和关键性的内容,也是高考数学中一个重要的常考知识点，题型有解答题、填空题、选择题，主要考查棱柱和棱锥的表面积、体积。

因此，我们今天就来简单的讲一讲空间几何体的表面积和体积的求法。

大家一定要认真熟记一些空间几何体的表面积和体积公式，如柱、锥、台和球的侧面积和体积：

典型例题分析1：

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC；

(2)求三棱锥A－PBC的体积．

解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，

所以BF=CD.

所以四边形BCDF为平行四边形．

所以DF∥BC.

在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.

又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，

所以平面DEF∥平面PBC.

因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC.

空间几何体的表面积和体积相关的问题一直是高中数学的重要内容，如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，一般多采用面积累加的方式求解,特别地,若为正棱柱（锥、台）,各侧面积相等,可用乘法计算;计算其体积时,关键是求底面积和高。

解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系。

计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解。

其实，如何正确求出几何体的侧面积和全面积，关键要对知识有本质上的认识，如几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行。

求体积时应注意的几点：

1、求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决；

2、与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性；

3、求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理。

典型例题分析2：

一些学生无法正确解出空间几何体的表面积与体积问题的答案,主要是由于概念不清、考虑不周、空间想象能力不强等原因而容易产生错解。空间几何体的表面积、体积的计算作为高考数学常考的热点,我们一定要认真去消化和理解每一个知识点，特别是在实际生活中,常遇到与表面积、体积相关的计算问题,一定要灵活运用各种求解方法。

以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理。

特别是旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用。

注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握。等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。如求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”。

空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一,相关的知识内容具有较强的逻辑性、系统性、整体性等等特点，同时这部分知识立足于课本，追求创新，如以直观图、三视图、平面图形的折叠、展开与旋转为背景，给出“非常规”的几何体，这样做的目的就是突出考查学生的转化思想和空间想象能力。

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