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隐函数求导公式(隐函数求导简单例子)

导语:隐函数求导(Implicit Differentiation)

隐函数求导公式(隐函数求导简单例子)

我们知道,是函数的显式形式(explicit form)。有时候,两个变量之间的关系不容易写成显示形式,而是隐含在一个方程式里,如单位圆里面的x与y之间的关系,若要写成显式形式,就得包含上半圆与下半圆两个函数,比较麻烦,不及圆的方程这一个式子来的更简练。

对函数的显式形式求导,依赖于一些基本函数(如三角函数,多项式,指数函数等)的导数计算,以及求导法则的运用(乘法法则,除法法则,链式法则等)。而对于例如单位圆里y与x的关系,若要求得,则可以采用隐函数求导(Implicit differentiation)。

隐函数求导的方法是,首先对包含x与y的方程两边同时对x求导,将y视作x的一个函数来求。求导之后会得到一个包含y的一阶导数的方程,然后解出的显式表达式即可。注意,的显式表达式可能既包含x也包含y,例如单位圆的方程两边求导后,得到,它是既包含x又包含y的一个函数。

往往习惯了函数的显式表达,对于既包含x又包含y一开始会有点疑惑,其实,这里x和y都是自变量了,但x与y之间却不是独立的:必须是单位圆上的点,因为这里y的一阶导数的意思是在单位圆上某点处的切线斜率。

举个例子,如果取x为0,那么y就必须是1,所以在点处的切线斜率就可以通过计算,即.

的表达式里包含y,这里还有个很大的好处,就是让其表达式简练了,如果采用单位圆的显式方程(两个)去求导数,就会得到两个导函数(只包含x),而包含x和y则只需要一个导函数就可以表示了。

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