初中数学定角定高模型(定角定边问题)

导语：初中几何定值问题：定角5例

初中几何定值问题：定角5例

题目1：如图，△ABC是圆O的内接三角形，∠B＞90°，则∠ABC-∠OAC为（90°）。

解题思路：延长AO交圆O于D，连接BD，显然∠ABD=90°。图2示∠DAC=∠DBC（同弧对等角），故∠ABC-∠OAC=∠ABC-∠DBC=∠ABD=90°。

题目2：如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，证明∠ACB+∠BDC为定值。

解题思路：已知AB=AC=AD，∠ABC=∠ACB=∠θ；我们可以作以A点为圆心，AB为半径的圆，2∠BDC=∠BAC=2∠α（圆心角为圆周角的2倍）。

在三角形ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

2∠α+2∠θ=180°，

∠α+∠θ=90°，

∠ACB+∠BDC=90°，为定值。

题目3：如图，点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PD⊥BA交BA延长线于D，PE⊥AC交AC的延长线于E。求证∠DOE是定角。

解题思路：AO为是等腰直角三角形ABC斜边BC的中线，AO=OC且垂直；

在△ADO和△CEO中，AD=EP=CE，AO=OC，

∠DAO=∠ECO=135°，故△ADO≌△CEO，

∠AOD=∠COE，

∠DOE=∠DOC+∠COE=∠DOC+∠AOD=90°，为定值。

题目4：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是AC边上任意一点（不含端点），AF⊥BE于点F，交BC于点G，求∠DFG的度数（45°）。

解题思路：已知△ABC为等腰直角三角形，另外题目中有两条垂线，可知A、B、D、F四点共圆，∠DFG为圆内接四边形ABDF的外角，等于其内对角ABD，为45°，是一个定值。

题目5：如图1，圆O和圆M相交于G、H两点，过点H任作两条直线AB和CD交圆O于A、C，交圆M于B、D，CA与BD的延长线交于点N。求证∠N为定值。

解题思路：两圆相交，首先连接公共弦，再连接GA、GB，图2中见2个四边形，一个是圆内接四边形GHDB，另一个是四边形GANB。

在圆O中，∠GAC=∠GHC（同弦对等角）；在圆M中，∠GHC=∠GBD（圆内接四边形外角等于内对角），

故∠GAC=∠GBD。

观察四边形GANB，因为∠GAC=∠GBD，得知外角GAC等于其邻补角GAN的内对角GBD，所以G、A、N、B四点共圆。

图2所示，∠AGB+∠θ+∠β=180°=∠AGB+∠N，

∠N=∠θ+∠β。

在圆O中，∠θ等于它所对的弧GH度数的一半，后者为定值；同理，∠β亦为定值。

故∠N=∠θ+∠β=1/2(∠GOH+∠GMH),为定值。

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