初一数轴上的问题(关于初一数轴的数学问题)

导语：初一上学期期末热点，利用数轴解决相关问题，动点题难度大

初一上学期，有两类难题，一类是实际应用题，另外一类就是动点题，动点题中我们首先接触的就是数轴动点题。本篇文章主要介绍利用数轴解决相关问题，包括数轴动点题的简单介绍。

类型一：利用数轴解决距离问题

在讲动点题之前，需要掌握利用数轴解决距离问题。那么，首先需要知道绝对值的几何应意义，数轴上表示 a 的点到原点的距离，原点用“0”表示，即一个数与0的距离。比如5到原点的距离为5，那么|5|=5；-5到原点的距离也等于5，那么|-5|=5；如果一个数到原点的距离等于5，那么个数可能是±5。如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么有如下结论：

（1）点A到原点的距离为|a|；

（2）点B到原点的距离为|b|；

（3）A、B之间的距离为|a-b|=b-a；

（4）如果A、B两点表示的数互为相反数，那么A、B两点到原点的距离相等，即|a|=|b|.

例题1：如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表示8

（1）点B表示的有理数是_________ ，表示原点的是点是 _________．

（2）图中的数轴上另有点M到点A，点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是 _________．

（3）若将原点取在点D，则点C表示的有理数是_________ ，此时点B与点 表示的有理数互为相反数_________．

分析：（1）先根据数轴上两点之间距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；（2）设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；（3）根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即求出结论．

解：（1）∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表示8，∴AG=|8+4|=12，∴相邻两点之间的距离=12÷6=2，∴点B表示的有理数是-4+2=-2，点C表示的有理数-2+2=0，

（2）设点M表示的有理数是m，则|m+4|+|m-8|=13，∴m=-4.5或m=8.5，

（3）若将原点取在点D，∵每两点之间距离为2，∴点C表示的有理数是-2，∵点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，∴此时点B与点F表示的有理数互为相反数。

类型二：数轴上的点表示的数

若数轴上的点M表示的数为m，沿数轴移动a个单位，有如图所示的结论：

点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点所表示的数。如果没有说明移动的方向，那么需要分情况讨论。

例题2：数轴上点A表示的数是-3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是_________．

分析：根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．

解：点A表示的数是-3，左移7个单位，得-3-7=-10，点A表示的数是-3，右移7个单位，得-3+7=4．所以点B表示的数是4或-10．

类型三：数轴动点题

掌握这两个基本知识点，再加上方程思想和用字母表示数，我们可以解决大部分数轴动点题，有些数轴动点题与行程问题有关，我们可不借助这两个知识点来做。

例题3：已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．

（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；

（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为-2和4，

①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是________；

②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．

（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为-20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？

分析：本题为数轴动点题与阅读理解型问题相结合，（1）根据A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，即可得结论；（2）①根据（1）即可得K点表示的数；②首先设K表示的数为x，根据（1）的定义即可求出x的值；（3）分四种情况讨论说明一个点为其余两点的奇异点，列出方程即可求解．

解：（1）根据定义：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，可知：点D是（B，C）的奇异点；

（2）①（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是2；

②（M，N）的奇异点K在点N的右侧，设K点表示的数为x，

则由题意得，x-（-2）=2（x-4）

解得x=10

∴若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，K点表示的数为10；

（3）设点P表示的数为y，当点P是（A，B）的奇异点时，则有y+20=2（40-y）

解得y=20．

当点P是（B，A）的奇异点时，则有40-y=2（y+20）

解得y=0．

当点A是（B，P）的奇异点时，则有40+20=2（y+20）

解得y=10．

当点B是（A，P）的奇异点时，则有40+20=2（40-y）

解得y=10．

∴当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．

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