辗转相除法求大公约数递归(辗转相除法求大公约数的原理是什么)

导语：左向辗转除余法求最大公约数

要求两个自然数的最大公约数，小学三四年级就学到了。方法就是短除法，用最小的公共质因子去除两个自然数，如果两个商还有公共质因子，则继续用它们的最小质因子去除，直至两个商不再有公共质因子，最后把所有的除数即质因子相乘，那么乘积就是这两个自然数的最大公约数。比如求64和80这两个数的最大公约数，是如图这样求的。

把短除式左边所有的商乘起来，它们的积就是两个数的最大公约数。那么本题64和80的最大公约数就是2×2×2×2=16 。

短除法简单直观易学，是求最大公约数的好方法。但是遇到下面的这两个数，用短除法就困难了。

求5886467和3662407的最大公约数。

由于短除法需要试商，一般从最小的质数2开始试，然后3、5、7、11，一路向上试，但对于象本题这样的数字，这个商就很难试了，因为其最小公共质因子太大了。对于这样的情况，可以采用辗转除余法，其做法就是用小数去除大数，若余数为0，则小数就是最大公约数；若不为0，则把原小数转为大数，余数作为小数，继续小数除大数，如此辗转相除直至余数为0。余数为0时的那个除数就是最大公约数。如果此时除数为1，则两数没有公共质因子，也就是没有最大公约数，若认为其最大公约数为1也未尝不可。本题的做法如下:

辗转除余法的通用性是很好的，可以替代短除法，比如前面那道求64与80的最大公约数的题目，用辗转除余法的做法如图:

一下子就把最大公约数16求出来了。

辗转除余法能直接把最大公约数求出来，但对于比较特殊象求5886467和3662407这样的最大公约数，步骤太多太烦琐。我经过研究，把辗转除余法作了创新，我称为左向辗转除余法。方法如下:

左向辗转除余法直接把原除法当作被除法，余数当除数，利用原式直接代入计算，减少了烦琐的抄数字的过程。如果大家觉得好，就请点个赞。谢谢大家。

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