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高考数学三角恒等变换(三角恒等变换高考真题汇总)

导语:高考考纲与考向分析——三角恒等变换

考纲原文

1.和与差的三角函数公式

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

2.简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

知识点详解

一、两角和与差的三角函数公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2.二倍角公式

3.公式的常用变形

二、简单的三角恒等变换

1.半角公式

2.公式的常见变形(和差化积、积化和差公式)

考向分析

考向一 三角函数式的化简

1.化简原则

(1)一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;

(2)二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;

(3)三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式一般要升幂”等.

2.化简要求

(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;

(2)式子中的分母尽量不含根号.

3.化简方法

(1)切化弦;

(2)异名化同名;

(3)异角化同角;

(4)降幂或升幂.

【方法技巧】

(1)三角化简的常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.

(2)三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.

(3)在化简时要注意角的取值范围.

考向二 三角函数的求值问题

1.给角求值

给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数,从而得解.

2.给值求值

已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路:

(1)先化简所求式子.

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

3.给值求角

通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:

(1)已知正切函数值,则选正切函数.

4.常见的角的变换

(1)已知角表示未知角

(2)互余与互补关系

(3)非特殊角转化为特殊角

例如:15°=45°−30°,75°=45°+30°.

【名师点睛】

解给值求值型问题的一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.

考向三 三角恒等变换的综合应用

1.与三角函数的图象及性质相结合的综合问题

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωxφ)+ty=Acos(ωxφ)+t的形式.

(3)根据自变量的范围确定ωxφ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值.

(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωxφ)+ty=Acos(ωxφ)+t的单调区间.

2.与向量相结合的综合问题

3.与解三角形相结合的综合问题

(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于π,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解;

(2)利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解.

【注】此类题中的角是在三角形中,每个角范围限制在(0,π)内,如果是锐角三角形,则需要限制各个角均在 内.角的范围在解题中至关重要,做题时要特别注意.

【名师点睛】

三角函数求值的三种类型

(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路:①适当变换已知式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将已知式的值代入,从而达到解题的目的.

(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,进而确定角.

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