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抛物线中的相似三角形(抛物线与正三角形问题)

导语:抛物线 正方形 相似三角形 平行四边形,分类讨论 存在性 H31

H31.如图,边长为2的正方形OABC,点D是边OA的中点,连接CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.过C,E两点的抛物线,其对称轴为直线AB.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点C出发,沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD于点F,当t为何值时,以点P,F,D为顶点的三角形与△COD相似?(3)点M为直线AB上一动点,点N为抛物线上一动点,是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

解读:

(1)AB为抛物线对称轴x=2,

设抛物线为y=a(x-2)^2+k,

抛物线过点C(0,2),则

4a+k=2,

过点E作EQ⊥x轴,Q为垂足,

可证Rt△ODC≌Rt△QED,

OC=DQ=2,OD=EQ=1,

再由勾股定理得CD=DE=√5,

所以点E(3,1),

抛物线过点E(3,1),

则a+k=1,

解得,a=1/3,k=2/3,

抛物线y= 1/3(x-2)^2+2/3,

(2)

①若Rt△DFP∽Rt△COD,则∠PDF=∠DCO,

所以PD∥OC,

则∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°,

所以四边形PDOC是矩形,

即PC=OD=1,

∴t=1;

②若Rt△PFD∽Rt△COD,则∠DPF=∠DCO,

PD:CD=DF:OD.

所以∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF.

则PC=PD,

所以DF=CF=CD/2=√5/2

所以PD=PC=DF:OD×CD=√5/2×√5=5/2

∴t=5/2,

综上所述,t=1或t=5/2,

当t=1或t=5/2时,以点P,F,D为顶点的三角形与△COD相似;

(3)存在,

四边形MDEN是平行四边形时,M1(2,1),N1(4,2);

四边形MNDE是平行四边形时,M2(2,3),N2(0,2);

四边形NDME是平行四边形时,M3(2,1/3),N3(2,2/3).

综述:

(1)正方形,余角的性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法;

(2)相似三角形的性质,矩形的判定,分类讨论;

(3)平行四边形的判定,分类讨论。

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