抛物线中的相似三角形(抛物线与正三角形问题)

导语：抛物线 正方形 相似三角形 平行四边形，分类讨论 存在性 H31

H31.如图，边长为2的正方形OABC，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．过C，E两点的抛物线，其对称轴为直线AB．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解读：

（1）AB为抛物线对称轴x=2，

设抛物线为y=a（x-2）^2+k，

抛物线过点C（0，2），则

4a+k=2，

过点E作EQ⊥x轴，Q为垂足，

可证Rt△ODC≌Rt△QED,

OC=DQ=2,OD=EQ=1,

再由勾股定理得CD=DE=√5，

所以点E（3，1），

抛物线过点E（3，1），

则a+k=1，

解得，a=1/3，k=2/3，

抛物线y= 1/3（x-2）^2+2/3，

（2）

①若Rt△DFP∽Rt△COD，则∠PDF=∠DCO，

所以PD∥OC，

则∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，

所以四边形PDOC是矩形，

即PC=OD=1，

∴t=1；

②若Rt△PFD∽Rt△COD，则∠DPF=∠DCO，

PD:CD=DF:OD．

所以∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．

则PC=PD，

所以DF=CF=CD/2=√5/2

所以PD=PC=DF:OD×CD=√5/2×√5=5/2

∴t=5/2,

综上所述，t=1或t=5/2,

当t=1或t=5/2时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；

（3）存在，

四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；

四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；

四边形NDME是平行四边形时，M3（2，1/3），N3（2，2/3）．

综述：

（1）正方形，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法；

（2）相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论；

（3）平行四边形的判定，分类讨论。

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