这些平行四边形有什么关系(平行和四边形是什么图形)

导语：图解数学｜很社会的平行四边形与它的小弟们

这是图解数学的第7篇。

「图解数学」系列介绍

「图解数学」系列用学生看起来最为直观的图形，载12期，来讲解SAT/ACT/AMC8平面几何的考点，并提供中英文对照。

本期要点：

1. 平行四边形边于角

2. 平行四边形面积关系

3. 长方形

4. 菱形

平行四边形，大家肯定都很熟悉，但是你知道吗？它可是好几位小弟的大哥，只有跟大哥搞好关系，你才能和各位小弟友好相处。

四边形可以分三类：

①两组对边都不平行的：这种一般比较难，暂不研究

②只有一组对边平行的：叫做梯形 （trapezoid）

③两组对边都平行：叫做平行四边形（parallelogram），咱们现在就来具体说说它

由对边平行这个定义出发，我们很快就能推出它的另一些基本性质：

①对边相等

②对角相等

③对角线互相平分

以上三条性质都可以用全等三角形来证明。

下面我们来看一个课内不常接触到的性质，对角线长度和边长的关系：

观察上图，我们发现，四条边长的平方和等于两条对角线的平方和。

当你知道平行四边形两条对边和其中一条对角线的长度的时候，就能用这个性质快速算出另一条对角线长度。

这个性质最简单的推导是用余弦定理来计算两条对角线长度，两式相加得出。

我们知道，平行四边形的面积是底乘高，这个公式是怎么推导出来的呢？

观察上图我们可以发现，无论平行四边形是什么形状的，我们总可以剪下黄色的三角形，把它拼到绿色三角形的地方，这样平行四边形的面积就可以用长方形面积公式——长乘宽来算了。

如上图，平行四边形被两条对角线分成四个三角形，上下两个三角形全等，左右两个三角形也全等，有趣的是，虽然上面的三角形和右边的三角形不全等，但它们面积一样。

证明方法可以是：CA=AF， D 到底边 CA 和 AF 的距离也相等，于是两三角形面积相等。

一般情况下，平行四边形两条对角线是不相等的，但通过调整，使得两条对角线长度相等，大家来想想会发生什么呢？

观察图形变化，我们发现，当对角线相等的时候，平行四边形恰好变成了长方形！所以，矩形是平行四边形的第一个小弟。

这个性质可以由全等三角形证明，它对应两条定理：

①对角线相等的平行四边形是矩形

②矩形的对角线长度相等

以上两条互为逆定理。

一般情况下，平行四边形两条对角线是不垂直的，但通过调整，使得两条对角线垂直，大家来想想会发生什么呢？

观察图形变化，我们发现，当对角线垂直的时候，两条邻边长度就相等了，平行四边形恰好变成了菱形（rhombus）！所以菱形是平行四边形的第二位小弟。

这个性质依然可以由全等三角形证明，它对应两条定理：

①对角线垂直的平行四边形是菱形

②菱形对角线相互垂直

以上两条互为逆定理

最后说一句，如果一个图形既是矩形又是菱形，那么它就是我们最常见的正方形了。正方形平行四边形的第三位小弟。

今天你学习了《图解数学》的第六讲，下次你再见到矩形、菱形、正方形，你们就知道：哈哈哈，你们都是平行四边形的小弟。

恭喜你，又解锁了一个新章节。下次我们学习全等三角形。

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