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单调区间端点可以两边都取吗(单调区间之间可以用或吗)

导语:单调区间之内任两点,顺则增,逆则减——函数单调性常见错误分析

函数单调性的定义,我们简单点说就是在一个区间上"任意"取两个数x1,x2,且x1<x2,若能保证f(x1)<f(x2), 就判定函数为增函数,区间为增区间;若能保证f(x1)>f(x2), 就判定函数为减函数,区间为减区间。

我们可以简单的记为:

单调区间之内任取两点,顺则增,逆则减。

高一新生们在函数单调性应用上,很容易出错,主要表现在一下几点上:

①交待单调性时却不交待单调区间

函数单调性是函数上一个局部的性质,是针对某一个区间而言的,而不一定是整条函数的性质。故交待单调性时必须要交待单调区间。

例如上图所示函数,它在区间[-5,-2],[1,3]上都是单调递减的,在[-2,1],[3,4]上都是单调递增的;而整个函数并不具有单调性。

②俩单调区间之间一般不能写并集符号"∪"连接,而只能用"逗号"隔开。

并集符号连接了两个区间后,我们将它们看做一个单调区间,如[-5,-2] ∪ [1,3]后,我们在[-5,-2]上取x1,在[1,3]上取x2,很显然,不能保证f(x1)<f(x2).

③设自变量x1<x2时,少”任意”俩字

函数的单调性是函数在一个单调区间上的"整体"性质,具有任意性,不能用特殊值代替。咱们要比较的是区间上的任意两个点的高低,不是刻意的两个特殊点的高低。

④证明单调性时,对符号的判定,缺乏依据,而是根据已知单调性在f(x1)和f(x2)之间加大于或小于符号.

【例题】

有很多学生的证明过程这样的:

下面才是正确的证明过程:

这里,我们对变形的最后结果

的每一部分都进行了符号分析,逼迫着结果必须大于0.

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