简单的性质不简单的应用题(简单的性质不简单的应用是什么)
导语：简单的性质不简单的应用
我们知道，如果a2+b2=0，则a=b=0．这是实数的一个及其简单的性质，但这个简单性质在初中数学解题中却有着不简单的应用，当已知等式带有平方关系时，设法将它化为平方和等于0的形式后，问题便可以迎刃而解．请看如下几个例子：
例1 已知实数x、y满足x2+y2＝2（x＋y-1），
求证：x=y=1．
解析：一个方程两个未知数，要想解出这两个未知数的值，一般方法是将这个方程化为两个平方和等于0的形式．因此，从已知等式入手，先把右边化为0，得：
x2+y2-2x-2y+2=0，
把常数项2拆分为1+1，将左边分为两组，得：
(x2-2x+1)+(y2-2y+1)=0，
分别配方，得：
(x-1) 2+(y-1) 2=0，
所以x-1=0且y-1=0，
所以x=y=1.
例2 已知4x2y2+x2+y2+1=6xy，
求(x-1)(y+1)的值．
解析：因为(x-1)(y+1)可化为xy+x-y-1，
因此，只需要设法从已知中求出x、y的值或xy、x-y的值，问题便可获解．
已知等式只有一个，未知数却有两个，因此需要尝试将已知等式配方化为平方和等于0的形式．注意左边是四个数的平方和，它们可化为两数和（差）的平方和，但缺少交叉项xy，将右边的6xy移到左边，也许可以实现这个目标．
x2y2+4x2+y2+1-6xy=0，
将-6xy拆分为两部分-4xy与-2xy，
分别与4x2y2+1和x2+y2组合，得：
(4x2y2-4xy+1)+(x2-2xy+y2)=0，
分别配方，得：
(2xy-1)2+(x-y) 2=0，
所以2xy-1=0，且x-y=0，
即xy=1/2，且x-y=0，
所以(x-1)(y+1)=xy+(x-y)-1
=1/2+0-1=-1/2．
例3 已知x2+y2-6x+8y+25=0，求x、y的值．
解析：将已知等式化为：
(x2-6x+9)+(y2+8y+16)=0，
配方，得：(x-3) 2+(y+4) 2=0，
所以x-3=0且y+4=0，
所以x=3，y=-4．
例4 已知实数a、b、c满足a2+b2 +c2=ab+bc+ac，
求证：a=b=c．
解析：设法将已知等式配方为：
(a-b)2+(b-c)2 +(a-c) 2=0.
把已知等式两边乘以2，并移项，得：
2a2+2b2 +2c2-2ab+2bc+2ac=0，
将2a2+2b2 +2c2拆分为a2+b2 +c2+ a2+b2 +c2，然后分组为：
(a2-2ab+b2 )+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0，
配方，得：(a-b) 2+(b-c)^2 +(a-c)2=0，
所以a-b=0且b-c=0且a-c=0，
所以a=b=c．
例5已知a、b大于0，且a√(1-b2)+b√(1-a2)=1，求证：a2+b2=1．
解析：从求证的结论a2+b2=1可知，a=√(1-b2)，b=√(1-a2)，
因此，只需要证明[a-√(1-b2)] 2+[b-√(1-a2)] 2等于0即可．
因为[a-√(1-b2)] 2+[b-√(1-a2)] 2
=a2-2 a√(1-b2)+1-b2+b2-2 b√(1-a2) +1-a2
=2-2[a√(1-b2)+b√(1-a2)]，
=2-2×1=0，
所以a-√(1-b2)=0且b-√(1-a2)=0，
所以a=√(1-b2)且b=√(1-a2)，
两边平方，整理，得a2+b2=1．
例6求方程√x+√(y-1)+√(z-2)=(x+y+z)/2的实数解．
解析：设法将配方为平方和等于0的形式．
方程去分母，化为：x+y+z-2√x-2√(y-1)-2√(z-2)=0，
整理为：[x-2√x+1]+[(y-1)-2√(y-1)+1]+[(z-2)-2√(z-2)]=0，
注意到x=(√x)2，y-1=[√(y-1)]2 ，z-2=[√(z-2)]2，
因此可分别配方，得：
(√x-1)2+[√(y-1)-1] 2+[√(z-2)-1]2=0，
所以√x-1=0且√(y-1)-1=0且√(z-2)-1=0，
分别解之，得：x=1，y=2，z=3.
例7 已知四边形的四边a、b、c、d满足a4+b4+c4+d4=4abcd．求证：四边形是菱形．
解析：首先，把已知等式的右边化为0的形式，得：
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
既然要证明a=b=c=d，那就说明这个等式可以化为关于a、b、c、d差的平方和等于0的形式．
根据完全平方公式，先把a4+b4和c4+d4分别化为：
a4+b4 =(a2-b2) 2+2a2b2；
c4+d4=(c2-d2) 2+2c2d2；
则已知等式可化为：
(a2-b2) 2+2a2b2+(c2-d2) 2+2c2d2-4abcd；
整理为：(a2-b2)2+ (c2-d2)2+2(a2b2-2abcd+c2d2)=0，
显然，a2b2-2abcd+c2d2=(ab-cd) 2，
所以(a2-b2) 2+ (c2-d2)2+2(ab-cd)2=0，
所以a2-b2=c2-d2=2(ab-cd)=0，
所以a2=b2，c2=d2，ab=cd，
因为a、b、c、d都是正数，
所以a=b=c=d，
所以四边形是菱形．
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