实对称矩阵相似对角化的条件(实对称矩阵相似与对角矩阵)

对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化，还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交，而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中，我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化，这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的，这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

实对称矩阵：元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化：

（1）实对称矩阵的特征值全部是实数；

（2）实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化；

（3）实对称矩阵必相似于对角矩阵。

求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤：

求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤

题型一：实对称矩阵的正交相似对角矩阵

例1：

解题思路：（1）非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.

（2）利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解

解：

题型二：相似对角矩阵的应用

例2：设A是n阶矩阵，有特征值1，2，3，....，n，求|3E+A|

分析：可以利用特征值和行列式的性质的计算。

解：

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